知识点深化 · 集合运算

集合运算：交、并、补，一张 Venn 图全搞定

你已经认识了集合（一堆确定的对象），但集合不是摆着看的——它能做运算。两个集合放在一起，能取"既在 A 又在 B"的部分（交 ∩），能合成"A 或 B"的全部（并 ∪），还能在全集里扣掉某个集合（补 ∁）。这一页把三种运算、Venn 图、数轴、区间表示一次讲透，这是后面函数定义域、不等式解集、概率的底层语言。

① 小白第一课怎么学（4 步走，约 50 分钟）

别急着刷题，先按这四步建立直觉：

1看图建立直觉（10 分钟）
读第②③部分：看 Venn 图和数轴，搞懂"重叠=交、合并=并、扣掉=补"长什么样。

2记公式表（10 分钟）
背第④部分：交并补定义、德摩根律、区间写法，端点开闭是重点。

3做例题（15 分钟）
精读第⑤部分典型例题，自己画数轴跟着算一遍。

4刷题+纠错（15 分钟）
做第⑦⑩部分，错题回到第⑥部分高频错误里找原因。

本课小目标学完你要能：① 看到 A∩B、A∪B、∁ᵤA 立刻说出它在图上是哪一块；② 两个区间集合在数轴上画出来，30 秒内写出交并补；③ 做含参集合运算题，不漏空集、不搞错端点开闭。

② 一图看懂：集合运算全地图

读法：中心是"集合运算"，分出三大运算（交并补）+ 区间表示；下方是两大工具（德摩根律、数轴/Venn）。连续数集画数轴，离散数集画 Venn 圈。

③ 先认识它：三种运算到底在取哪一块

把两个集合想象成两个叠在桌上的圆饼：

交集 A ∩ B = 两个饼重叠的那块——既在 A 里又在 B 里，对应"且 / 同时满足"。

并集 A ∪ B = 两个饼全部合起来的面积——在 A 里或在 B 里都行，对应"或 / 至少满足一个"。

补集 ∁ᵤ A = 在大盒子（全集 U）里，扣掉圆饼 A 后剩下的部分——对应"不 / 排除"。

右边的 Venn 图把这三块涂了色，看一眼就记住了。

为什么先画全集 U 再谈补集补集永远是"相对"的：同一个集合 A，在全集 U=ℝ 里和在全集 U={1,2,3,4,5} 里，补集完全不同。做题第一步先问自己：这道题的全集 U 是谁？题目没说时，数集问题默认 U=ℝ。

④ 完整体系与公式表

三种运算定义对照

运算	符号	文字定义	记法	Venn 图区域
交集	A ∩ B	由既属于 A 又属于 B 的元素组成	{x \| x∈A 且 x∈B}	两圆重叠
并集	A ∪ B	由所有属于 A 或属于 B 的元素组成	{x \| x∈A 或 x∈B}	两圆整体
补集	∁ᵤA	全集 U 中不属于 A 的元素	{x \| x∈U 且 x∉A}	方框内去圆

运算律（集合版四则运算）

交换律 / 结合律 / 分配律 / 德摩根律 A ∩ B = B ∩ A | A ∪ B = B ∪ A
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) | (A∪B)∪C = A∪(B∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) | A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
德摩根律：∁ᵤ(A∪B) = (∁ᵤA)∩(∁ᵤB)；∁ᵤ(A∩B) = (∁ᵤA)∪(∁ᵤB)

区间表示法速查表

集合写法	区间写法	端点	数轴示意
{x \| a < x < b}	(a, b)	两端都不取	两个空心点之间
{x \| a ≤ x ≤ b}	[a, b]	两端都取	两个实心点之间
{x \| a < x ≤ b}	(a, b]	左开右闭	左空右实
{x \| x ≥ a}	[a, +∞)	取 a，向右无限	实心点向右射线
{x \| x < a}	(−∞, a)	不取 a，向左无限	空心点向左射线

端点开闭三条铁律 ① 方括号挨着谁，谁就取等号——[a,b] 取 a 和 b，(a,b) 都不取。
② ∞ 永远配圆括号——+∞、−∞ 不是数，取不到，只能写 ( −∞, … ) 或 ( …, +∞)。
③ 运算后重新判断端点：交并补做完，端点取不取要重新看"两边是否都包含它"。

⑤ 用法场景与典型例题

例1（基础·数轴法）A = {x | −1 < x ≤ 3}，B = {x | x ≥ 1}，求 A∩B、A∪B

两个都是连续区间，画一条数轴最稳。

① 先写成区间：A=(−1, 3]，B=[1, +∞)。
② 交（重叠）：从 1（B 取到，实心）到 3（A 取到，实心），即 [1, 3]。
③ 并（覆盖）：从 A 的左端 −1（不取）一直向右全部连上，即 (−1, +∞)。
答案：A∩B = [1, 3]；A∪B = (−1, +∞)。

例2（补集+德摩根）全集 U=ℝ，A={x | x<1}，B={x | x≥3}，求 ∁ᵤ(A∪B)

方法一先并后补；方法二用德摩根律拆成交。

① A∪B = {x | x<1 或 x≥3} = (−∞,1)∪[3,+∞)。
② 在 ℝ 里扣掉它，剩下中间一段：{x | 1≤x<3} = [1, 3)。
③ 德摩根验证：∁A = [1,+∞)，∁B = (−∞,3)，两者交集 = [1,3)。一致。
答案：∁ᵤ(A∪B) = [1, 3)。

例3（离散数集·Venn）U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，求 A∩B、A∪B、∁ᵤ(A∩B)

元素可数，直接列举，注意互异（重复只算一次）。

① A∩B = 同时在两集合里的元素 = {3, 4}。
② A∪B = 合起来 = {1,2,3,4,5,6}（3、4 不重复写）。
③ ∁ᵤ(A∩B) = U 去掉 {3,4} = {1,2,5,6,7,8}。
答案：A∩B={3,4}；A∪B={1,2,3,4,5,6}；补集={1,2,5,6,7,8}。

什么时候画数轴，什么时候画 Venn集合是连续区间（不等式解集、定义域）→ 画数轴看交并；集合是离散列举数（几个具体整数）→ 直接列元素，或画 Venn 圈数格子。两者不要混用。

⑥ 中国学生高频错误诊断（4 条）

错误 1：交并补做完不重新判断端点开闭A=(−1,3]，B=[1,+∞)，求交集时把左端写成 (−1,… ) ——错！交集左端必须同时满足两边，A 不取 −1，B 从 1 开始，所以交集左端点是 1（B 取到），不是 −1。口诀：交取重叠段，两端谁取听两边"共同"的。

错误 2：∞ 端写成方括号把 {x | x≥3} 写成 [3,+∞] ——错！∞ 不是实数，永远取不到，必须是圆括号：[3, +∞)。

错误 3：补集忘记"在全集 U 内"取题目 U={1,…,8}，求补集时把全体实数都拉进来——错！补集只在给定全集范围内扣，范围外的元素根本不存在。

错误 4：德摩根律把交并符号搞反记成 ∁(A∪B)=(∁A)∪(∁B) ——错！正确是"补号进去，交变并、并变交"：∁(A∪B)=(∁A)∩(∁B)。

⑦ 考点与真题演练（3 题）

考点分布

考法	出题形式	应对
区间交并补	小题，给两个集合求运算结果	画数轴，标端点开闭
含参集合关系	已知 A∩B=∅ 或 A⊆B 求参数	边界对齐，单独讨论空集
德摩根律	补集的混合运算	"补进、交变并并变交"

基础1. 已知 A = {x | x < 2}，B = {x | x ≥ −1}，则 A ∩ B = ？

中档2. 全集 U = ℝ，集合 A = {x | x ≤ 1 或 x ≥ 3}，则 ∁ᵤA = ？

拔高3. 设 A = {x | x² − x − 2 ≤ 0}，B = {x | x < a}，若 A ∩ B = A，则实数 a 的取值范围是？

第 3 题解析先解 A：x²−x−2=(x−2)(x+1)≤0 → A=[−1, 2]。A∩B=A 说明 A⊆B。B=(−∞,a)。要让整个 [−1,2] 落在 (−∞,a) 里，右端 2 必须被 B 盖住，即 a>2 或 a=2 时 B=(−∞,2) 不含 2，而 A 含 2，所以 a=2 不行——等等，重算：B=(−∞,a) 取不到 a，要 2∈B 必须 a>2？但题目选项 B 是 a≥2。注意：A∩B=A 即 A⊆B，2∈A 必须 2∈B=(−∞,a)，需 a>2。再核对选项，本题正确应为 a>2（选 A）。做题时务必把端点代入验证。

⑧ 必背公式卡

交：A∩B = {x | x∈A 且 x∈B} 重叠、同时、都要
并：A∪B = {x | x∈A 或 x∈B} 合并、至少一个
补：∁ᵤA = {x | x∈U 且 x∉A} 全集内扣掉
德摩根：∁(A∪B)=(∁A)∩(∁B)，∁(A∩B)=(∁A)∪(∁B) 补号进，交并互换
子集个数：n 元集子集 2ⁿ，真子集 2ⁿ−1，非空真子集 2ⁿ−2 每个元素进/不进两种选择
空集：∅⊆A 恒成立；A∩∅=∅；A∪∅=A 空集是任何集合的子集
区间：[a,b] 取端点，(a,b) 不取；∞ 永远配圆括号 方括号=取，圆括号=舍

⑨ 应用输出：用集合语言建模

建模场景：学校社团招生

某班 50 人，参加数学社团的有 30 人，参加编程社团的有 25 人，两个都参加的有 15 人。用集合语言说清楚：

设 M=参加数学社团的人，P=参加编程社团的人。

· 至少参加一个社团的人数 = |M∪P| = |M|+|P|−|M∩P| = 30+25−15 = 40 人。

· 两个都没参加的人数 = |∁(M∪P)| = 50 − 40 = 10 人。

· 只参加数学、不参加编程的 = |M ∩ (∁P)| = 30 − 15 = 15 人。

口述解题思路训练合上课本，大声说一遍这三句话："求交就找重叠、求并就合起来、求补先定全集；连续数集画数轴，离散数集数元素；做之前先问端点取不取、空集要不要单独讨论。"能顺下来，这页就真懂了。

⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）

▍基础 6 题

基础1用区间表示 {x | 2 ≤ x < 5}。

[2, 5)。左端取等号用 [，右端不取用 )。

基础2A={1,2,3}，B={2,3,4}，求 A∩B。

{2, 3}。找两边都有的公共元素。

基础3上题求 A∪B。

{1,2,3,4}。合起来，重复的 2、3 只写一次。

基础4全集 U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，求 ∁ᵤA。

{2, 4}。U 中去掉 A 剩下的。

基础5把 {x | x ≤ −1} 写成区间。

(−∞, −1]。右端取到 −1 用 ]，左端 ∞ 用 (。

基础6判断对错：A∩∅ = A。

错。A∩∅=∅（空集和任何集合的交还是空集）；A∪∅=A 才对。

▍中档 6 题

中档7A=(−2, 3]，B=[0, 5)，求 A∩B。

[0, 3]。重叠段从 0（B 取）到 3（A 取），两端都取。

中档8上题求 A∪B。

(−2, 5)。合并覆盖从 −2（不取）到 5（不取）。

中档9全集 U=ℝ，A={x | x<−1}，求 ∁ᵤA。

[−1, +∞)。扣掉 x<−1，剩下 x≥−1，取 −1。

中档10A={x | x²=4}，B={x | x−1=0}，求 A∪B。

A={−2,2}，B={1}，A∪B={−2, 1, 2}。

中档11用德摩根律展开：∁ᵤ(A∩B)。

(∁ᵤA)∪(∁ᵤB)。补号进，交变并。

中档12某班 40 人，喜欢篮球 25 人，喜欢足球 20 人，都喜欢 10 人，问都不喜欢几人？

至少喜欢一项 = 25+20−10=35，都不喜欢 = 40−35=5 人。

▍拔高 6 题

拔高13A={x | −1≤x≤4}，B={x | x>a}，若 A∩B=∅，求 a 范围。

B=(a,+∞) 与 [−1,4] 无重叠，需 a≥4（a=4 时 B=(4,+∞) 不含 4，仍不交）。a≥4。

拔高14A={x | x²−3x+2≤0}，B={x | x<a}，若 A⊆B，求 a 范围。

A=[1,2]，B=(−∞,a)。要 2∈B 需 a>2。a>2（a=2 时 B 不含 2，A 含 2，不成立）。

拔高15全集 U=ℝ，A={x | x<1 或 x>3}，B={x | 2<x<4}，求 (∁A)∩B。

∁A=[1,3]，B=(2,4)，交集=(2,3]。

拔高16{1,2,3} 的非空真子集有几个？

2³−2=6 个。减去空集和它自身。

拔高17A={2,3,a²+2a−3}，B={|a+3|,2}，已知 5∈A 且 5∉B，求 a。

由 5∈A：a²+2a−3=5 → a=2 或 a=−4。检验 5∉B：a=2 时 |a+3|=5，5∈B 舍；a=−4 时 |a+3|=1，5∉B 成立。a=−4。

拔高18设 A={x | x²+(p+2)x+1=0}，且 A∩(0,+∞)=∅，求 p 范围。

方程无正根。分两类：①无实根 Δ<0 → (p+2)²−4<0 → −4<p<0；②两根都≤0：Δ≥0 且两根和=−(p+2)≤0 → p≥−2，且两根积=1>0，得 p≥0。合并 p>−4。

⑪ 记忆口诀 + 7 天复习计划

三句口诀 ① 交是"且"重叠取，并是"或"合并起，补是"非"扣全集。
② 方括号取端、圆括号舍，∞ 永远配圆括。
③ 德摩根：补号往里进，交变并来并变交。

天	任务	自检
第 1 天	读②③④，画 3 张 Venn 图	能默画交并补三块
第 2 天	背公式卡 + 做基础 1-6	基础全对
第 3 天	做中档 7-12 + 重做错题	错题原因写下来
第 4 天	做拔高 13-18	含参题不漏空集讨论
第 5 天	做⑦真题 3 题	限时每题 2 分钟
第 6-7 天	合上书口述三句口诀，默写德摩根律	不看资料全默对

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