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由递推关系求通项：累加 / 累乘 / 构造法
给了 a1 和递推公式 an+1 = f(an)，怎么求通项？这是高考数列大题的第一问必考。四种套路：累加法、累乘法、构造法、Sn 与 an 关系。学会了，数列大题第一问就是送分。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
识别四种递推类型：an+1−an=f(n) 用累加；an+1/an=f(n) 用累乘。
2练（20 分钟）
各做 2 道典型题，总结构造法套路。
3对（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练构造 an+1=p·an+q。
4默（10 分钟）
背四种方法适用条件。
第一课小目标① 识别递推类型选方法；② 用累加法求 an+1=an+2n；③ 构造 an+1=2an+3 的通项。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
求通项
→
→
→
构造法
an+1=p·an+q
设 an+1+c=p(an+c)
等比数列
→
③ 先认识它：：四种套路对号入座
递推关系千变万化，但高考就考四种基本类型。看到差就累加，看到比就累乘，看到线性 an+1=p·an+q 就构造，看到 Sn 就用 an=Sn−Sn−1。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1（累加）：a1=1, an+1=an+2n，求 an。
解：an = a1 + Σ(k=1..n−1) 2k = 1 + 2·(n−1)n/2 = 1+n(n−1) = n²−n+1。
例2（累乘）：a1=1, an+1 = an·(n+1)/n，求 an。
解：an = a1·Π(k=1..n−1) (k+1)/k = 1·(2/1)(3/2)...(n/(n−1)) = n。
例3（构造）：a1=1, an+1=2an+3，求 an。
解：c=q/(p−1)=3/(2−1)=3。an+1+3=2(an+3)。{an+3} 首项 4、公比 2。an+3=4·2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁺¹。an=2ⁿ⁺¹−3。
例4（Sn 与 an）：Sn=2n²+n，求 an。
解：a1=S1=3。n≥2: an=Sn−Sn−1=2n²+n−[2(n−1)²+(n−1)]=4n−1。检验 n=1: 4−1=3 ✓。an=4n−1。
高考考法数列大题第一问 90% 是给递推求通项。先识别类型，再选方法。构造法最高频。
⑥ 高频错误诊断
错误 1累加法漏首项 a1
✗ → ✓ an = a1 + Σ f(k)
中间项消完剩 a1，别丢。
错误 2构造法 c = q/p
✗ → ✓ c = q/(p−1)
展开 an+1+c=p(an+c) 后常数项是 (p−1)c。
错误 3Sn 求 an 忘检验 n=1
✗ → ✓ n=1 时单独算 a1=S1
n≥2 的公式在 n=1 时可能不成立。
错误 4累乘法方向写反
✗ → ✓ an = a1 · (a2/a1)·(a3/a2)·...
分子分母逐行约掉，方向别反。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. a1=1, an+1=an+2，则 an = ？
解析：累加：an=1+2(n−1)=2n−1。
2. a1=1, an+1=2an+1，则 an = ？
解析：构造 c=1/(2−1)=1。an+1+1=2(an+1)。首项 2。an+1=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ。an=2ⁿ−1。
3. Sn=n²，则 a5 = ？
解析：a5=S5−S4=25−16=9。
⑧ 必背公式卡
差累加：an=a1+Σ(ak+1−ak)。
比累乘：an=a1·Π(ak+1/ak)。
线性构造：an+1=p·an+q，c=q/(p−1)。
Sn 求 an：n=1 用 S1，n≥2 用 Sn−Sn−1。
构造后 {an+c} 是等比，公比 p。
累乘注意约分方向。
所有结果都要检验 n=1。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"看到递推先看类型：差→累加；比→累乘；an+1=p·an+q→构造；给 Sn→Sn−Sn−1。构造时设 c=q/(p−1)，把 an+c 看成新等比数列。最后务必检验 n=1。"
口述题
口头说出 a1=2, an+1=3an−1 的通项求法。
参考答案：c=−1/(3−1)=−1/2。an+1−1/2=3(an−1/2)。首项 a1−1/2=3/2。an−1/2=(3/2)·3ⁿ⁻¹=3ⁿ/2。an=(3ⁿ+1)/2。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1a1=1, an+1=an+3，求 an。
累加：an=1+3(n−1)=3n−2。
基础2a1=2, an+1=an+n，求 a3。
a2=2+1=3, a3=3+2=5。
基础3a1=1, an+1=2an，求 an。
等比：an=2ⁿ⁻¹。
基础4Sn=n²，求 a1。
a1=S1=1。
基础5a1=1, an+1=an+1，求 an。
an=n。
基础6构造法中 p=2, q=4，c=?
c=4/(2−1)=4。
中档7a1=1, an+1=an+2ⁿ，求 an。
累加：an=1+Σ2^k(k=1..n−1)=1+(2ⁿ−2)=2ⁿ−1。
中档8a1=1, an+1=an·(n+2)/n，求 an。
累乘：an=1·(3/1)(4/2)(5/3)...((n+1)/(n−1)) = n(n+1)/2。
中档9a1=1, an+1=3an+2，求 an。
c=2/(3−1)=1。an+1+1=3(an+1)。首项 2。an+1=2·3ⁿ⁻¹。an=2·3ⁿ⁻¹−1。
中档10Sn=3n²−2n，求 an。
a1=1。n≥2: an=6n−5。检验 n=1: 1 ✓。an=6n−5。
中档11a1=1, an+1=an+2n+1，求 an。
累加：an=1+Σ(2k+1)(k=1..n−1)=1+2·(n−1)n/2+(n−1)=n²。
中档12a1=2, an+1=an/(2an+1)，求 an。
取倒数：1/an+1=(2an+1)/an=2+1/an。设 bn=1/an，bn+1=bn+2。b1=1/2。bn=1/2+2(n−1)=(4n−3)/2。an=2/(4n−3)。
拔高13a1=1, an+1=2an+n，求 an。
构造：设 an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B)。展开 an+1=2an+An+B−A。对比 n: A=1。常数 B−A=0 ⇒ B=1。an+n+1=2(an−1+n)。首项 a1+2=3。an+n+1=3·2ⁿ⁻¹。an=3·2ⁿ⁻¹−n−1。
拔高14Sn=2an−1，求 an。
n=1: a1=2a1−1 ⇒ a1=1。n≥2: an=Sn−Sn−1=2an−1−(2an−1−1)=2an−2an−1 ⇒ an=2an−1。等比 q=2。an=2ⁿ⁻¹。
拔高15a1=1, an+1=an+√an，求 an。
设 bn=√an。bn+1²=bn²+bn=bn(bn+1)。此式较复杂，换思路：bn+1−bn=1/2（近似）。实际 an=(n(n+1)/2)²？检验 n=1: 1 ✓。n=2: a2=1+1=2，但 (2·3/2)²=9 ✗。正确：bn=√an，bn+1²−bn²=bn。设 bn=n/2？b1=1/2≠1。本题 an=(2n−1)²/4？n=1: 1/4 ✗。an=(n)² 检验：a2=4，但按递推 a2=1+1=2 ✗。本题答案 an=(n²)/4？n=1: 1/4 ✗。略。
拔高16a1=1, an+1=an+2n，求 S10。
an=n²−n+1。S10=Σ(k²−k+1)=Σk²−Σk+10=385−55+10=340。
拔高17a1=0, an+1=an+2n，求 an。
an=0+Σ2k(k=1..n−1)=n(n−1)。
拔高18已知数列 {an} 满足 a1=1, an+1=2an+1，求 {an} 前 n 项和 Sn。
an=2ⁿ−1。Sn=Σ(2^k−1)=Σ2^k−n=(2ⁿ⁺¹−2)−n=2ⁿ⁺¹−n−2。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀
① 差累加，比累乘，线性构造等比行。
② Sn 求 an 分两段，n=1 单独验。
③ 构造 c=q/(p−1)，新数列是等比。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 读③④部分 + 识别四种类型 | 类型判断对 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 构造法熟练 |
| 第 4 天 | 默写四种方法公式 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天做 2 道递推求通项 | 零失误 |