三角函数 · 第 1 站
弧度制与任意角：终边相同、象限角、弧长扇形面积
弧度制把角度换成实数——π 不再是角度单位，而是弧长与半径的比值。这一站把角从 0°~360° 扩展到任意角，学会用弧度算弧长和扇形面积。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
理解 1 弧度 = 弧长等于半径时的圆心角。
2算（15 分钟）
角度↔弧度换算，重点记 30°=π/6, 45°=π/4, 60°=π/3。
3练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，练终边相同角和弧长公式。
4背（10 分钟）
背常用角弧度值和弧长扇形面积公式。
第一课小目标① 把 120° 化为弧度；② 写出与 −30° 终边相同的角；③ 用 l=|α|r 算弧长。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
弧度制
→
→
→
换算
180°=π rad
角度×π/180
弧度×180/π
→
③ 先认识它：：用实数度量角
弧度制定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫 1 弧度（rad）。即 α = l/r（l 为弧长，r 为半径）。
常用换算360°=2π rad，180°=π rad。不用写 rad 单位，写 π 就默认弧度。角度转弧度：×π/180；弧度转角度：×180/π。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1（换算）：把 67°30′ 化为弧度。
解：67°30′ = 67.5°。67.5 × π/180 = 3π/8 rad。
例2（终边相同）：写出与 −1480° 终边相同且 0°~360° 之间的角。
解：−1480° ÷ 360° = −5 余 320°。−1480° = −5×360° + 320°。即 α=320° = 16π/9。
例3（弧长）：半径 r=6 cm，圆心角 α=π/3，求弧长 l 和扇形面积 S。
解：l = |α|·r = (π/3)·6 = 2π cm。S = ½·|α|·r² = ½·(π/3)·36 = 6π cm²。
例4（象限角）：判断 7π/5 是第几象限角。
解：π=5π/5，3π/2=7.5π/5。π < 7π/5 < 3π/2，在第三象限。
应用场景物理中圆周运动角速度 ω=v/r；工程中机械传动；地理中经纬度。
⑥ 高频错误诊断
错误 1弧长公式用角度制代入 l=nπr/180
✗ → ✓ 弧度制 l=|α|r
用弧度制公式更简洁。
错误 2终边相同角写成 α+kπ
✗ → ✓ 应该是 α+2kπ
转一圈是 2π，不是 π。
错误 3弧度单位写上 rad
✗ → ✓ π 就默认弧度
不写单位。
错误 4扇形面积 S=½αr 忘平方
✗ → ✓ S=½|α|r²
r 要平方。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. 下列各角中，与 30° 终边相同的是？
解析：390°=30°+360°，终边相同。
2. −1480° 化为 α+2kπ（0≤α<2π），则 α = ？
解析：−1480°=−5×360°+320°。320°=16π/9。
3. 扇形半径 r=4，圆心角 α=π/3，面积 S = ？
解析：S=½·(π/3)·16=8π/3。
⑧ 必背公式卡
180° = π rad。
角度化弧度：×π/180；弧度化角度：×180/π。
终边相同：β = α + 2kπ（k∈Z）。
弧长 l = |α|·r。
扇形面积 S = ½lr = ½|α|r²。
常用：30°=π/6, 45°=π/4, 60°=π/3, 90°=π/2。
象限：一(0,π/2)二(π/2,π)三(π,3π/2)四(3π/2,2π)。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"弧度题三步：① 角度弧度先换算；② 终边相同加 2kπ；③ 弧长扇形面积用弧度公式。"
口述题
口头说：半径 3、圆心角 120° 的扇形弧长和面积。
参考答案：120°=2π/3。l=(2π/3)·3=2π。S=½·(2π/3)·9=3π。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础4r=2, α=π，弧长 l=?
= 2π。
基础5r=1, α=π/2，面积 S=?
= π/4。
中档7把 225° 化为弧度。
= 5π/4。
中档8把 7π/6 化为角度。
= 210°。
中档9与 −75° 终边相同且 0°~360° 的角。
= 285° = 19π/12。
中档10r=10, α=60°，弧长 l=?
60°=π/3。l=10π/3。
中档11扇形周长 6 cm，面积 2 cm²，求半径 r。
2r+l=6, ½lr=2。r=1 或 2。
中档12α=3 rad 是第几象限角？
π≈3.14，π/2≈1.57。第二象限。
拔高13时针 3 小时转多少弧度？
−3×2π/12 = −π/2。
拔高14扇形周长 C=20，求最大面积时半径。
S=10r−r²，r=5 时 S_max=25。
拔高15车轮半径 0.3 m，转速 100 r/min，求角速度。
ω=100×2π/60=10π/3 rad/s。
拔高16α=−3π/4 是第几象限？
加 2π=5π/4，第三象限。
拔高17圆弧长 4π，半径 6，求圆心角。
α=l/r=2π/3。
拔高18直径 4 m 飞轮，每秒转 π/6 rad，求线速度。
v=ωr=(π/6)·2=π/3 m/s。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 一百八十度等 π，换算别忘乘除对。
② 终边相同加两 π，象限先看范围段。
③ 弧长等于 α 乘 r，面积半 α r 平方。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 背常用角弧度值表 | 30/45/60/90 秒答 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 弧长面积公式熟 |
| 第 4 天 | 默写弧长扇形面积公式 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天换算 3 个角 | 零失误 |