⑤ 用法场景与典型例题
例1（基础·写否定）写出命题"∀x∈ℝ, x²+x+1>0"的否定。
① 量词 ∀→∃；② 结论 >0 否定为 ≤0。
答案：∃x∈ℝ, x²+x+1≤0。
例2（恒成立）命题"∀x∈[1,2], x²−a≤0"为真，求 a 范围。
① 即对所有 x∈[1,2]，a≥x² 恒成立。
② 恒成立 ⇒ a ≥ x² 的最大值。
③ x∈[1,2] 时 x²∈[1,4]，最大值 4。
答案：a≥4，即 a∈[4,+∞)。
例3（能成立）若"∃x∈[1,2], x²−a≤0"为真，求 a 范围。
① 即存在 x∈[1,2] 使 a≥x²。
② 能成立 ⇒ a ≥ x² 的最小值。
③ x² 在 [1,2] 最小值为 1。
答案：a≥1，即 a∈[1,+∞)。（对比例2，范围一下松了很多！）
例4（高考）命题"∃x∈ℝ, x²+2x+a≤0"为假，求 a 范围。
① 原命题为假 ⇔ 它的否定为真：∀x∈ℝ, x²+2x+a>0。
② 二次函数恒正 ⇒ 开口向上且 Δ<0。
③ Δ=4−4a<0 → a>1。
答案：a>1，即 a∈(1,+∞)。
⑥ 中国学生高频错误诊断（4 条）
错误 1：否定只改结论不换量词把 ∀x, p(x) 的否定写成 ∀x, ¬p(x)。这是最常见错误！必须 ∀→∃。
错误 2：恒成立与能成立最值用反恒成立求了最大值，能成立求了最小值——正好颠倒。记住：恒成立看"最严"，能成立看"最松"。
错误 3：写否定时漏掉变量范围否定后 x 的范围 M 保持不变，只换量词和结论，不要把 ∈M 也改掉。
错误 4：把"为假"当"为假命题"直接硬解命题为假时，先取它的否定（变成真命题）再做，比硬扛容易得多。
⑦ 考点与真题演练（3 题）
| 考法 | 形式 | 应对 |
|---|
| 写否定 | 选择/填空，给命题写否定 | 量词互换+结论否定 |
| 恒成立求参 | ∀ 命题为真求参数 | 转最值（最严处） |
| 能成立求参 | ∃ 命题为真/假求参数 | 转最值（最松处） |
基础1. 命题"∀x∈ℝ，x²+1>0"的否定是？
中档2. 若 ∀x∈[0,2]，x²−a≥0 恒成立，则 a 的取值范围是？
拔高3. 若命题"∃x∈ℝ，x²−2x+m=0"为假，则 m 的取值范围是？
第 2 题解析x²−a≥0 即 a≤x² 对 [0,2] 恒成立。恒成立看最严处 = x² 最小值 0。所以 a≤0。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
▍基础 6 题
基础1"任意实数的绝对值非负"用量词怎么写？
∀x∈ℝ, |x|≥0。
基础2"存在一个实数平方等于 9"怎么写？
∃x∈ℝ, x²=9。（实际成立，x=±3）
基础3写否定：∀x∈ℝ, 2x+1>0。
∃x∈ℝ, 2x+1≤0。
基础4写否定：∃x∈ℤ, x<0。
∀x∈ℤ, x≥0。
基础5"所有正方形都是矩形"的否定是？
存在至少一个正方形不是矩形（显然假）。
基础6判断：∀x∈ℝ, x²≥x。
假。x=0.5 时 x²=0.25<0.5，找得到反例。
▍中档 6 题
中档7∀x∈[1,3], f(x)=x 恒大于 a，求 a 范围。
恒成立看最小值：fmin=1，故 a<1（严格）。a∈(−∞,1)。
中档8∃x∈[1,3], x≥a 成立，求 a 范围。
能成立看最大值：fmax=3，故 a≤3。a∈(−∞,3]。
中档9命题"∃x∈ℝ, x²+x+1=0"的否定是？
∀x∈ℝ, x²+x+1≠0。
中档10∀x∈ℝ, x²+2x+a>0 恒成立，求 a 范围。
开口向上，Δ=4−4a<0 → a>1。
中档11"存在实数 x 使 x²<0"是真命题吗？
假。实数平方恒 ≥0，不存在这样的 x。
中档12写否定：∀x∈ℝ, 若 x>2 则 x²>4。
∃x∈ℝ, 使 x>2 且 x²≤4。（命题否定：条件成立而结论不成立）
▍拔高 6 题
拔高13∀x∈[1,2], x²−ax>0 恒成立，求 a 范围。
即 a<x 对所有 x∈[1,2] 成立，恒成立看 x 最小值 1，故 a<1。
拔高14∃x∈[1,2], x²−a≤0 成立，求 a 范围。
即 a≥x² 能成立，看 x² 最小值 1，故 a≥1。
拔高15命题"∃x∈ℝ, x²+ax+1<0"为假，求 a 范围。
否定为真：∀x, x²+ax+1≥0，Δ=a²−4≤0 → −2≤a≤2。
拔高16"∀x∈(0,+∞), x+1/x≥a"恒成立，求 a 最大值。
x+1/x≥2（均值不等式），最小值 2，故 a≤2，a 最大值为 2。
拔高17∃x∈ℝ, |x−1|+|x−2|<a 有解，求 a 范围。
左边最小值为 1（x 在 [1,2] 时）。能成立需 a>最小值，故 a>1。
拔高18若"∀x∈[−1,1], x²−2ax+3a≥0"恒成立，求 a 范围。
f(x)=x²−2ax+3a，对称轴 x=a。分三类：a≤−1 时 f(−1)≥0→1+5a≥0 无解；−1<a<1 时 f(a)=−a²+3a≥0→0≤a≤1；a≥1 时 f(1)=1+a≥0 恒成立。合并 0≤a≤1 与 a≥1，得 a≥0（结合边界实际取 [0,+∞)）。