本科数学 · 多元函数偏导数与全微分

模块 · 高等数学 · 多元微分

二元函数 z=f(x,y) 有两个自变量。偏导数 ∂z/∂x 就是把 y 当常数、对 x 求导——这是多元微分的入门。全微分 dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy 告诉你"x、y 各动一点，z 总共动多少"。梯度 ∇f 指向"上坡最陡方向"。这是场论、优化、机器学习的基础。

① 本科第一课怎么学（衔接高中）

总用时约 70 分钟，4 步走，一步不跳。高中你已经见过极限的"ε-δ"影子，本科要把它从"直观"升级成"会算、会证、会用"。

1读（15min）
看③④：偏导数怎么算、全微分公式、链式法则。

2练（20min）
做⑤例题，练"对 x 求导时 y 当常数"。

3辨（15min）
看⑥：链式法则漏项、抽象函数求导错。

4测（20min）
做⑦真题和⑩练习。

本课小目标：学完你要能：① 求二元函数一阶、二阶偏导；② 写全微分 dz；③ 用链式法则求复合函数偏导；④ 求梯度。

② 一图看懂全课（SVG 思维导图）

本模块知识地图

从根节点出发，五大分支覆盖定义、定理、算法、易错、考点。先有地图再走路。

③ 先认识它：偏导：按住一个变量，看另一个变化

∂z/∂x 的含义：在点 (x₀,y₀)，把 y 钉死在 y₀，只让 x 动，z 随 x 的变化率。几何上是曲面 z=f(x,y) 被平面 y=y₀ 切开后的截线，在 x=x₀ 处的切线斜率。

全微分：dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy。它是曲面在该点切平面的增量近似：x 走 dx、y 走 dy，z 的线性变化。可微（全微分存在）比偏导存在更强——偏导存在不一定可微。

④ 完整定理 / 公式体系表

概念	公式	要点	备注
偏导 ∂z/∂x	lim(Δx→0)[f(x+Δx,y)−f(x,y)]/Δx	y 当常数	记 zₓ 或 fₓ
偏导 ∂z/∂y	对称定义	x 当常数	记 z_y
全微分	dz = zₓ dx + z_y dy	线性主部	可微才写
二阶偏导	zₓₓ, z_xy, z_yx, z_yy	连续时 z_xy=z_yx	混合偏导可交换
链式法则	z=f(u,v), u=u(x,y),v=v(x,y)	zₓ=z_u·uₓ+z_v·vₓ	画树图
梯度	∇f=(fₓ, f_y)	指向最陡上升方向	方向导数最大值

全微分与链式法则（必背）dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy
链式：z=f(u,v)，则 ∂z/∂x = (∂z/∂u)(∂u/∂x) + (∂z/∂v)(∂v/∂x)

⑤ 典型用法与例题（3 道递进）

例1（入门）：z=x²y+sin y，求 zₓ、z_y。

对 x 求导 y 当常数；对 y 求导 x 当常数。

① zₓ = 2xy（y 当常数，sin y 对 x 导数 0）。
② z_y = x² + cos y（x²y 对 y 求导 x²，sin y 求导 cos y）。
答案：zₓ=2xy，z_y=x²+cos y。

例2（进阶）：z=e^(xy)，求全微分 dz。

先求两个偏导。

① zₓ = y·e^(xy)（链式：内层 xy 对 x 导 y）。
② z_y = x·e^(xy)。
③ dz = e^(xy)(y dx + x dy)。
答案：dz=e^(xy)(y dx+x dy)。

例3（考研难度）：z=f(x²−y², eˣʸ)，f 可微，求 ∂z/∂x。

链式法则，画树图。

① 令 u=x²−y²，v=eˣʸ。z=f(u,v)。
② uₓ=2x，vₓ=y eˣʸ。
③ ∂z/∂x = f_u·2x + f_v·y eˣʸ。
答案：∂z/∂x=2x f₁ + y eˣʸ f₂（f₁ 表对第一个变量偏导）。

⑥ 高频错误诊断（5 条）

⚠ 偏导时把另一个变量当函数

对 x 求偏导时 y 就是常数，不要把 y 也对 x 求导。z=xy 对 x 导是 y，不是 y+x y′。

⚠ 链式法则漏项

z=f(u,v) 对 x 偏导，u 和 v 都可能依赖 x，两条路都要加：zₓ=z_u·uₓ+z_v·vₓ。漏一条是高频错。

⚠ 把偏导符号写混

∂z/∂x 和 dz/dx 不同：前者偏导（y 固定），后者全导。多元函数里多用 ∂。

⚠ 可微与偏导存在混

偏导存在不一定可微；可微一定连续、一定偏导存在。判断题常考这个逻辑。

⚠ 混合偏导不写条件

z_xy=z_yx 需要"连续"才成立。一般函数默认连续，但若出证明题要说明。

⑦ 考研 / 期末考点与真题演练（3 题）

题型	怎么考	应对
计算题	求偏导/全微分	固定变量求导
链式法则	抽象复合函数	画树图写全
极值/梯度	求 ∇f、方向导数	梯度公式

真题风格演练（紫色标签）

真题1（数一真题）z=ln(x²+y²)，求 ∂z/∂x。

= 2x/(x²+y²)。同理 ∂z/∂y=2y/(x²+y²)。

真题2（数二真题）z=f(xy, x²+y²)，求 ∂z/∂x。

令 u=xy,v=x²+y²：∂z/∂x = y f₁ + 2x f₂。

真题3（数三真题）求 f(x,y)=x²+y² 在 (1,1) 处梯度及方向导数最大值。

∇f=(2x,2y)=(2,2)，方向导数最大值=|∇f|=2√2，方向沿 (1,1)。

⑧ 必背公式 / 定理卡

每天晨读 3 张，3 天背到条件反射
卡1：∂z/∂x：y 当常数，对 x 求导
卡2：dz = zₓ dx + z_y dy
卡3：链式 zₓ = z_u·uₓ + z_v·vₓ
卡4：混合偏导连续时 z_xy = z_yx
卡5：梯度 ∇f = (fₓ, f_y)，指向最陡上升
卡6：可微 ⇒ 连续且偏导存在；反之不然

⑨ 应用输出：建模 / 证明口述 / 实际应用

合上书本，大声说出来才算会

口述1：∂z/∂x 和一元函数导数 dz/dx 有什么区别？

口述2：链式法则中 z=f(u,v) 对 x 偏导为什么有两项？

口述3：梯度 ∇f 指向什么方向？它和方向导数什么关系？

建模：山地高度 z=f(x,y)，口述站在某点沿哪个方向爬最快、坡度多少。

实际应用场景：偏导数是机器学习的根基：损失函数 L(w,b) 对权重 w 的偏导就是梯度下降法的更新方向；物理上温度场 T(x,y,z) 对坐标的偏导构成热流向量；经济学中多变量生产函数的边际产量就是偏导。

⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6，含解析）

基础1z=xy 对 x 偏导？

y。

基础2z=x²+y² 对 y 偏导？

2y。

基础3dz = ?

zₓ dx+z_y dy。

基础4偏导 ∂z/∂x 时 y 当？

常数。

基础5梯度 ∇f = ?

(fₓ, f_y)。

基础6z=sin(xy) 对 x 偏导？

y cos(xy)。

中档7z=x³y²，求 zₓ。

3x²y²。

中档8z=x³y²，求 z_xy。

zₓ=3x²y²，再对 y：6x²y。

中档9z=√(x²+y²)，zₓ=?

x/√(x²+y²)。

中档10z=f(u,v),u=x+y,v=xy，zₓ=?

f₁·1+f₂·y。

中档11f(x,y)=x²y 在 (1,2) 梯度？

(2xy, x²)=(4,1)。

中档12全微分存在简称？

可微。

拔高13z=arctan(y/x)，求 dz。

zₓ=−y/(x²+y²)，z_y=x/(x²+y²)，dz=(−y dx+x dy)/(x²+y²)。

拔高14z=f(x²−y²)，求 zₓ 和 z_y。

zₓ=2x f′，z_y=−2y f′。

拔高15u=x+y, v=x−y, z=f(u,v)，验证 zₓ=z_u+z_v。

链式：zₓ=z_u·1+z_v·1=z_u+z_v。

拔高16f(x,y)=x²−xy+y²，求在 (1,1) 沿方向 (1,0) 方向导数。

∇f=(2x−y,−x+2y)=(1,1)，方向 (1,0) 单位化 (1,0)，点积=1。

拔高17隐函数 F(x,y)=0 求 dy/dx。

dy/dx=−Fₓ/F_y（隐函数求导公式）。

拔高18z=f(x,y), x=r cosθ, y=r sinθ，证 (∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²=(∂z/∂r)²+(1/r²)(∂z/∂θ)²。

用极坐标链式法则展开即证。

⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划

三句话口诀

① 偏导就是按住一个，对另一个求导；对 x 导 y 常数，对 y 导 x 常数。

② 全微分两部分，zₓdx 加 z_y dy；链式法则画树图，每条路走到底相加。

③ 梯度指向最陡上，方向导最大模；可微要强于偏导，连续混合偏导才交换。

7 天复习计划

天	任务	自检标准
第1天	背偏导/全微分/链式公式	默写全对
第2天	做⑤例题 + ⑩基础1-6	基础全对
第3天	⑩中档7-12 + ⑦真题	链式画树图
第4天	看⑥漏项陷阱 + 重做错题	链式不漏项
第5天	⑩拔高13-16	梯度/方向导熟练
第6天	拔高17-18 + 即时自测	自测≥5/6
第7天	晨读必背卡 + 山地建模	口述梯度方向

即时自测（点击选项即时判断）

共 6 题，覆盖本页核心。

求 ∂z/∂x 时，y 应看作？

解析：偏导固定另一个变量，y 当常数。

全微分 dz = ?

解析：dz=zₓdx+z_ydy。

z=f(u,v) 对 x 偏导的链式法则是？

解析：u、v 都依赖 x，两条路相加。

梯度 ∇f 指向？

解析：梯度指向函数增长最快（最陡上升）方向。

z=xy 对 x 的偏导是？

解析：y 当常数，∂(xy)/∂x=y。

可微与偏导存在的关系？

解析：可微更强，可微必偏导存在，反之不然。

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