知识点深化 · 不等式 · 小白第一课
均值不等式链：四种平均数谁大谁小一条链
两个正数 a、b，有四种平均数：调和、几何、算术、平方。它们谁大谁小？为什么？什么时候相等？这一页把这条"均值链"从头到尾理顺，是基本不等式的升级版。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 60 分钟，拆成 4 步，一步都别跳：
1读（15分钟）
读③④：四种平均数定义与不等关系。
2记（15分钟）
做⑤：背调和≤几何≤算术≤平方。
3练（15分钟）
做⑩：用不等式链比较大小。
4说（15分钟）
做⑨：口述每种平均数含义。
第一课小目标学完要能：① 写出四种平均数；② 记住 H≤G≤A≤Q；③ 用它比较代数式大小。
② 一图看懂全课（思维导图）
读法：从中心节点出发，按五大分支走，每支下的小节点全记住就通关。
③ 先认识它
一句话：对任意正数 a、b，四种平均数满足 H ≤ G ≤ A ≤ Q，等号都在 a=b 时成立。这条链把基本不等式 (G≤A) 扩展到了四个方向。
记忆顺序从左到右：调、几、算、平——越来越大。联想"调羹几个人算平方饭"。
④ 完整公式 / 体系表
均值不等式链（a,b>0）
H = 2/(1/a+1/b) = 2ab/(a+b) ≤ G = √(ab)
≤ A = (a+b)/2 ≤ Q = √[(a²+b²)/2]
等号 ⇔ a = b
| 平均数 | 公式 | 典型用途 |
|---|
| 调和 H | 2ab/(a+b) | 往返平均速度 |
| 几何 G | √(ab) | 基本不等式 |
| 算术 A | (a+b)/2 | 普通平均 |
| 平方 Q | √((a²+b²)/2) | 标准差相关 |
两个最常用推论① a²+b² ≥ 2ab（由 Q≥A 平方得到）；② (a+b)² ≤ 2(a²+b²)。这两条比原链更常用。
⑤ 用法场景与典型例题
| 场景 | 用哪段 |
|---|
| 比较大小 | 直接套 H≤G≤A≤Q |
| 证不等式 | 选合适的一段 |
| 往返速度 | H=2v₁v₂/(v₁+v₂) |
例：比较 (a+b)/2 与 √((a²+b²)/2)
解：由 A≤Q，(a+b)/2 ≤ √((a²+b²)/2)。平方即 (a+b)²/4 ≤ (a²+b²)/2 → (a+b)² ≤ 2(a²+b²)。
⑥ 高频错误诊断
错误1：顺序记反
H≤G≤A≤Q，别写成 A≤G。记"调几算平"递增。
错误2：忘了 a,b>0
链中每段都要求正数。
错误3：等号条件不写
所有段等号都在 a=b，答题要写。
错误4：把 Q 当成 (a²+b²)/2
Q 是带根号的：√((a²+b²)/2)，平方后是 (a²+b²)/2。
错误5：三元情况乱套
这条链是二元的；三元有自己的均值不等式（乘积开三次方）。
⑦ 考点与真题演练
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 选择/填空 | 比较四个平均数大小 | 套 H≤G≤A≤Q |
| 证明题 | 证 a²+b²≥2ab 等 | 用链中合适一段 |
| 应用题 | 平均速度 | 调和平均 |
真题风格演练（点击选项即时判断）
真题风格·选择a,b>0，下列最大的是？
真题风格·填空a,b>0，a²+b² ≥ ？
真题风格·解答a=b=1 时，链中几个平均数相等？
考场提分提醒比较大小题直接画 H G A Q 四个框，从左到右排。证明 a²+b²≥2ab 时直接用 Q≥A 两边平方。
⑧ 必背公式卡
1. H=2ab/(a+b) ≤ G=√(ab) ≤ A=(a+b)/2 ≤ Q=√((a²+b²)/2)。
2. 等号都在 a=b 时成立。
3. 推论：a²+b² ≥ 2ab。
4. 推论：(a+b)² ≤ 2(a²+b²)。
5. 往返平均速度用调和 H。
6. 全部要求 a,b > 0。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述训练
练习 A：从左到右念一遍链，并说出为什么算术平均≥几何平均。
练习 B：说 a=b 时会发生什么——四个平均数全相等。
练习 C（建模）：去程速度 60，回程 40，全程平均速度？答：2·60·40/100=48（调和，不是 50）。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1a=1,b=9，求 G=√(ab)。
√9=3。
基础2a=1,b=9，求 A=(a+b)/2。
10/2=5。
基础3链中最小的平均数是？
H 调和平均。
基础5等号成立条件是 a=?。
a=b。
基础6H≤G≤A≤Q 中 G 指什么？
几何平均 √(ab)。
中档7a=2,b=8，比较 G 和 A。
G=4，A=5，G<A 符合链。
中档8a=2,b=8，求 H=2ab/(a+b)。
2·16/10=3.2。
中档9比较 (a+b)/2 与 √((a²+b²)/2)（a≠b）。
由 A<Q：(a+b)/2 < √((a²+b²)/2)。
中档10证 a²+b²≥2ab。
由 A≤Q 平方：(a+b)²/4 ≤ (a²+b²)/2 → a²+2ab+b² ≤ 2a²+2b² → 0≤(a−b)²，成立。
中档11a=1,b=4，从大到小排 A、G、H。
A=2.5, G=2, H=1.6 → A>G>H。
中档12往返速度 30 和 60，全程平均速度？
H=2·30·60/90=40。
拔高13a,b>0，证 2/(1/a+1/b) ≤ √(ab)。
即 H≤G：2ab/(a+b)≤√(ab)，两边约 √(ab) 得 2√(ab)/(a+b)≤1 → 2√(ab)≤a+b，正是基本不等式。
拔高14a,b>0，a+b=1，求 √(ab) 的最大值。
G≤A=1/2，√(ab)≤1/2，最大 1/2（a=b=1/2）。
拔高15a,b>0，证 (a+b)(1/a+1/b) ≥ 4。
展开=2+b/a+a/b≥2+2=4（用基本不等式）。
拔高16调和平均 H、几何 G、算术 A、平方 Q 大小关系？
H≤G≤A≤Q。
拔高17a,b>0，1/a+1/b 的最小值（a+b=1）。
H=2/(1/a+1/b)≤G≤A=1/2→1/a+1/b≥4。
拔高18用均值链证 a²+b²≥2ab。
Q=√((a²+b²)/2)≥A=(a+b)/2，平方即得。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 调几算平一条链，从左到右逐渐大。
② 等号都在 a=b，正数条件别忘记。
③ 平方平均最靠右，a²+b² 倍 2ab。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 读③④ + 背链 | 默写 H≤G≤A≤Q |
| 第2天 | 做基础1-6 | 6题全对 |
| 第3天 | 做中档7-12 | 会比较大小 |
| 第4天 | 做拔高13-15 | 会证明 |
| 第5天 | 做⑦真题3题 | 全对 |
| 第6-7天 | 口述往返速度为什么是调和 | 理解而非死背 |