⑤ 用法场景与典型例题
| 步骤 | 操作 |
|---|
| 1 | 把约束不等式都画成直线，定半平面 |
| 2 | 标出可行域顶点 |
| 3 | 顶点代入 z，比大小 |
例：求 z=x+y 最大约束 x≥0,y≥0,x+y≤2。
解：可行域是三角形，顶点 (0,0),(2,0),(0,2)。代入 z：0,2,2。最大 2。
⑥ 高频错误诊断
错误1：半平面方向画反
不等式 ≥ 还是 ≤，决定直线哪一侧。用原点 (0,0) 代入检验。
错误2：漏画坐标轴约束
题目常隐含 x≥0,y≥0（产量不能负），别漏。
错误3：顶点算错
两条边界方程联立求解，算完要代回检验。
错误4：把边界点当内部点
最值在边界顶点，不在区域内部。
错误5：忽略整数要求
实际问题产量是整数，顶点若不是整数要找附近格点。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1x≥0,y≥0,x≤1,y≤1，可行域是？
边长1的正方形。
基础3z=x+y 在 (0,0),(1,0),(0,1) 中最大？
max=1（在(1,0)或(0,1)）。
基础4判断半平面方向用什么点？
原点 (0,0)。
基础5x≥0 表示哪一侧？
y 轴右侧。
基础6目标函数 z=ax+by 是一族什么线？
平行线。
中档7x≥0,y≥0,x+y≤2，求 z=x+2y 最大。
顶点(0,0):0,(2,0):2,(0,2):4 → max=4。
中档8上题求 z=x−y 最大。
(2,0):2 最大 → 2。
中档9x≥0,y≥0,x+y≤1，求 z=2x+y 最大。
(1,0):2 最大 → 2。
中档10x≥0,y≥0,x≤2,y≤2，z=x+y 最大？
(2,2):4 → 4。
中档11约束 x≥0,y≥0,x+y≤3,2x+y≤4，求交点。
联立 x+y=3 与 2x+y=4 → x=1,y=2。
中档12上题若 z=x+y，最大值在哪个顶点？
(1,2) 和 (3,0) 都使 z=3，最大 3。
拔高13生产甲利润 3 元/件、乙 4 元/件；甲耗 A 料 1、乙耗 A 料 2，A 料共 8；甲耗 B 料 2、乙耗 B 料 1，B 料共 8。求最大利润。
约束 x+2y≤8,2x+y≤8,x,y≥0。顶点(0,0):0,(4,0):12,(0,4):16,(8/3,8/3):3·8/3+4·8/3=56/3≈18.7。最大利润 56/3 元。
拔高14上题若产量必须整数，最优整数解？
顶点附近试 (2,3):6+12=18；(3,2):9+8=17；(2,3) 最优 18 元。
拔高15x≥0,y≥0,x+2y≥4，求 z=x+y 最小值。
可行域无界，最小在 (4,0) 或 (0,2)：z=4 或 2，最小 2。
拔高16线性规划最优值常在可行域的哪里取到？
顶点（边界交点）。
拔高17约束 x+y≤4,x≥0,y≥0，z=x+2y 最大值。
顶点(0,0)(4,0)(0,4)，z 最大在 (0,4)=8。
拔高18目标函数与某边界平行时最优解？
有无穷多最优解（整条边）。