为什么有用：∫x eˣ dx 直接积不了。但选 u=x（求导变 1），dv=eˣdx（v=eˣ），原式 = x eˣ − ∫eˣ dx = x eˣ − eˣ + C。u 求导后变简单，v 积分后不太难，这就是选 u 的标准。口诀"反对幂三指"：排在前面的优先当 u（反三角→对数→幂→三角→指数）。
④ 完整定理 / 公式体系表
被积函数
选 u
选 dv
结果趋势
xⁿ eˣ
u=xⁿ
dv=eˣdx
n 次分部后幂函数消失
xⁿ sin x
u=xⁿ
dv=sin x dx
幂函数降次
xⁿ ln x
u=ln x
dv=xⁿ dx
ln 求导变 1/x
xⁿ arctan x
u=arctan x
dv=xⁿ dx
反三角求导有理化
eˣ sin x
任选 u
dv=另一
两次分部后移项解方程
分部积分公式∫ u dv = u·v − ∫ v du 口诀"反对幂三指"：排在前面的当 u（反三角函数 → 对数 → 幂函数 → 三角函数 → 指数函数）。
⑤ 典型用法与例题（3 道递进）
例1（入门）：求 ∫ x eˣ dx
u=x，dv=eˣdx。
① u=x，du=dx；dv=eˣdx，v=eˣ。 ② ∫x eˣdx = x eˣ − ∫eˣ dx = x eˣ − eˣ + C。
例2（进阶）：求 ∫ x ln x dx
u=ln x（对数优先），dv=x dx。
① u=ln x，du=dx/x；dv=x dx，v=x²/2。 ② = (x²/2)ln x − ∫(x²/2)·(dx/x) = (x²/2)ln x − (1/2)∫x dx。 ③ = (x²/2)ln x − x²/4 + C。
例3（考研难度）：求 ∫ eˣ sin x dx
循环型，分部两次后移项。
① 第一次：u=sin x, dv=eˣdx → I = eˣsin x − ∫eˣcos x dx。 ② 第二次：对 ∫eˣcos x dx，u=cos x, dv=eˣdx → = eˣcos x − ∫eˣ(−sin x)dx = eˣcos x + I。 ③ 代入：I = eˣsin x − eˣcos x − I，移项 2I = eˣ(sin x−cos x)。 ④ I = eˣ(sin x−cos x)/2 + C。
⑥ 高频错误诊断（5 条）
⚠ u、dv 选反
若把 x eˣ 选 u=eˣ、dv=x dx，分部后变成 eˣ·x²/2 − ∫x²/2·eˣdx，越积次数越高，死路。一定要让 u 求导后变简单。
⚠ 忘记 v 要加常数
v 是 dv 的一个原函数，取最简单的那个（常数取 0）即可，不用加任意常数。
⚠ 循环积分不把 I 移项
∫eˣsin x、∫eˣcos x 这类，分部两次会"回到自己"，这时把 I 当未知数解方程，别忘了移项除以 2。
⚠ 定积分分部忘记代上下限
定积分分部：∫ₐᵇu dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇv du，uv 要先代上下限求值。
⚠ 多次分部不列表
∫xⁿeˣdx 要分部 n 次，用表格法（u 逐次求导、dv 逐次积分）最快，别每次重写。
⑦ 考研 / 期末考点与真题演练（3 题）
题型
怎么考
应对
计算题
两类函数乘积
按口诀选 u
循环积分
eˣ sin x / eˣ cos x
两次分部移项
递推
∫sinⁿx dx
华里士公式
真题风格演练（紫色标签）
真题1（数一真题）求 ∫ x² cos x dx。
u=x²，dv=cos x dx：x²sin x−∫2x sin x dx；再分部 ∫x sin x=−x cos x+sin x。结果 x²sin x+2x cos x−2sin x+C。