本科数学 · 不定积分换元法

模块 · 高等数学 · 不定积分

求导有公式表，积分却没有"万能公式"——它是逆运算，要靠技巧。换元法就是积分里的"变量代换"：把难积的部分设成 u，让积分变简单。第一类换元（凑微分）是把 d 后面凑成 u′dx；第二类换元是用三角代换去掉根号。这是积分计算的半壁江山。

① 本科第一课怎么学（衔接高中）

总用时约 70 分钟，4 步走，一步不跳。高中你已经见过极限的"ε-δ"影子，本科要把它从"直观"升级成"会算、会证、会用"。

1读（15min）
看③④：凑微分的 5 个常见套路、三角代换的三种根式。

2练（20min）
做⑤例题，练"看一眼就能凑出 du"。

3辨（15min）
看⑥：换元后忘记回代、定积分换元忘换限。

4测（20min）
做⑦真题和⑩练习。

本课小目标：学完你要能：① 熟练凑微分 ∫f(ax+b)dx；② 对 √(a²−x²)、√(a²+x²)、√(x²−a²) 选对三角代换；③ 换元后正确回代。

② 一图看懂全课（SVG 思维导图）

本模块知识地图

从根节点出发，五大分支覆盖定义、定理、算法、易错、考点。先有地图再走路。

③ 先认识它：换元：把"丑陋的整体"当成一个新变量

第一类换元（凑微分）：若 ∫f(u)du=F(u)+C，令 u=φ(x)，则 ∫f(φ(x))φ′(x)dx=F(φ(x))+C。说白了就是：把被积函数里"长得像某个导数"的部分凑到 d 后面去。

第二类换元：反过来，令 x=φ(t)，把难积的 x 换成 t。最典型的是三角代换去根号：√(a²−x²) 用 x=a sin t，√(a²+x²) 用 x=a tan t，√(x²−a²) 用 x=a sec t，利用 1±sin²=cos²、1+tan²=sec² 把根号消掉。

④ 完整定理 / 公式体系表

积分形式	换元 / 凑法	结果	备注
∫f(ax+b)dx	u=ax+b, du=a dx	(1/a)F(ax+b)+C	线性凑
∫x·f(x²)dx	u=x², du=2x dx	(1/2)F(x²)+C	x 配 1/2
∫f(ln x)/x dx	u=ln x, du=dx/x	F(ln x)+C	1/x 是 ln 导数
∫f(eˣ)eˣ dx	u=eˣ, du=eˣ dx	F(eˣ)+C	eˣ 是自己导数
∫f(sin x)cos x dx	u=sin x	F(sin x)+C	cos x 是 sin 导数
√(a²−x²)	x=a sin t	→ a²cos²t	三角代换
√(a²+x²)	x=a tan t	→ a²sec²t	三角代换
√(x²−a²)	x=a sec t	→ a²tan²t	三角代换

凑微分核心：d 后面是什么，括号里就是什么d(xⁿ)=nxⁿ⁻¹dx | d(ln x)=dx/x | d(eˣ)=eˣdx | d(sin x)=cos x dx | d(tan x)=sec²x dx
凑完积分后必须回代 u=φ(x)；定积分换元必须同时换上下限。

⑤ 典型用法与例题（3 道递进）

例1（入门）：求 ∫(2x+1)⁵ dx

凑 u=2x+1。

① 令 u=2x+1，du=2dx，dx=du/2。
② 原式 = ∫u⁵·(du/2) = (1/2)·u⁶/6 = u⁶/12。
③ 回代 = (2x+1)⁶/12 + C。

例2（进阶）：求 ∫ x·√(1+x²) dx

凑 u=1+x²。

① u=1+x²，du=2x dx，x dx=du/2。
② 原式 = ∫√u·(du/2) = (1/2)·(2/3)u^(3/2) = (1/3)u^(3/2)。
③ 回代 = (1/3)(1+x²)^(3/2)+C。

例3（考研难度）：求 ∫ √(a²−x²) dx（a>0）

三角代换 x=a sin t。

① 令 x=a sin t，dx=a cos t dt，√(a²−x²)=a cos t。
② 原式 = ∫a cos t·a cos t dt = a²∫cos²t dt = a²∫(1+cos2t)/2 dt。
③ = a²/2·(t + sin t cos t) + C。
④ 回代 t=arcsin(x/a)，cos t=√(a²−x²)/a：= (a²/2)arcsin(x/a) + (x/2)√(a²−x²) + C。

⑥ 高频错误诊断（5 条）

⚠ 凑微分系数配错

∫x f(x²)dx 凑成 (1/2)∫f(x²)d(x²)，漏了 1/2 是高频错。记住：d(x²)=2x dx，所以 x dx = d(x²)/2。

⚠ 第二类换元后忘记回代

三角代换算出 t 的积分后，必须把 t 换回 x（画三角形！）。直接写 t 的表达式是没做完。

⚠ 定积分换元不换限

∫ₐᵇ f(φ(x))φ′(x)dx 换元 u=φ(x) 后，上限变成 φ(b)、下限 φ(a)，千万别再把 x 代回去。

⚠ 三角代换后区间没跟

x=a sin t 时 t 的范围要对应 x 的范围，否则开方 |cos t| 符号出错。

⚠ 把不定积分结果漏 +C

不定积分是一族函数，结果后必须写 +C。漏 C 在考试中扣 1 分。

⑦ 考研 / 期末考点与真题演练（3 题）

题型	怎么考	应对
计算题	凑微分型积分	观察 d 后面凑什么
计算题	含 √(a²±x²)	三角代换
定积分	对称区间/周期	换元+奇偶性

真题风格演练（紫色标签）

真题1（数一真题）求 ∫ dx/(x²+2x+2)。

配方：(x+1)²+1，凑 d(x+1)，=∫d(x+1)/((x+1)²+1)=arctan(x+1)+C。

真题2（数二真题）求 ∫ dx/(√(x²+1))³。

令 x=tan t，dx=sec²t dt，分母=sec³t，原式=∫cos t dt=sin t+C=x/√(x²+1)+C。

真题3（数三真题）求 ∫ ln(1+x)/(2−x)² dx（分部+换元预告）。

分部积分法处理（下一页）。

⑧ 必背公式 / 定理卡

每天晨读 3 张，3 天背到条件反射
卡1：∫f(ax+b)dx = (1/a)F(ax+b)+C
卡2：∫x f(x²)dx = (1/2)F(x²)+C
卡3：√(a²−x²)→x=a sin t；√(a²+x²)→x=a tan t；√(x²−a²)→x=a sec t
卡4：d(ln x)=dx/x；d(eˣ)=eˣdx
卡5：定积分换元必换限，不定积分必回代 + C
卡6：∫1/(a²+x²)dx = (1/a)arctan(x/a)+C

⑨ 应用输出：建模 / 证明口述 / 实际应用

合上书本，大声说出来才算会

口述1：凑微分的本质是什么？为什么"d 后面凑什么"就行？

口述2：看到 √(a²−x²) 你选什么代换？为什么？

口述3：定积分换元为什么必须换限？

建模：积分换元对应物理上"换坐标系"，口述 ∫√(a²−x²)dx 算的是半圆面积。

实际应用场景：换元法是积分计算的基本功。几何上算旋转体体积、物理上算变力做功、概率上算正态分布密度积分，都要靠它换元把复杂形状化到标准区间。计算机符号积分软件（Mathematica）的启发式算法核心就是模式匹配"能不能凑微分"。

⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6，含解析）

基础1∫(3x+2)⁴ dx = ?

(1/3)·(3x+2)⁵/5=(3x+2)⁵/15+C。

基础2∫e^(2x) dx = ?

(1/2)e^(2x)+C。

基础3∫ x/(1+x²) dx = ?

(1/2)ln(1+x²)+C。

基础4∫ sin x cos x dx = ?

凑 u=sin x：(1/2)sin²x+C。

基础5∫1/(ax+b) dx = ?

(1/a)ln|ax+b|+C。

基础6√(a²−x²) 选什么代换？

x=a sin t。

中档7∫ x² e^(x³) dx = ?

u=x³，du=3x²dx：(1/3)e^(x³)+C。

中档8∫ dx/(x²+4) = ?

(1/2)arctan(x/2)+C。

中档9∫ tan x dx = ?

∫sinx/cosx dx=−ln|cos x|+C。

中档10√(x²+9) 选什么代换？

x=3 tan t。

中档11∫ cos³x sin x dx = ?

u=cos x：−cos⁴x/4+C。

中档12∫ dx/(x ln x) = ?

u=ln x：ln|ln x|+C。

拔高13∫ √(1−x²) dx = ?

三角代换：(1/2)(arcsin x + x√(1−x²))+C。

拔高14∫ dx/(x²√(1+x²)) = ?

x=tan t，化简得 −√(1+x²)/x+C。

拔高15∫ dx/(1+√x) = ?

令 t=√x，dx=2t dt：2(t−ln(1+t))+C=2√x−2ln(1+√x)+C。

拔高16∫₀¹ x√(1+x²) dx（定积分换元）。

u=1+x²，x=0→u=1，x=1→u=2：(1/2)∫₁²√u du=(1/3)(2√2−1)。

拔高17∫ dx/(x²−2x+5) = ?

配方 (x−1)²+4：(1/2)arctan((x−1)/2)+C。

拔高18∫ eˣ√(1+eˣ) dx = ?

u=1+eˣ：(2/3)(1+eˣ)^(3/2)+C。

⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划

三句话口诀

① 凑微分看结构，d 后面跟着谁；线性系数分之一，指数 ln 配 1/x。

② 根号三兄弟：减弦切 sec，平方一减出 cos；三角代换算完后，画三角形回代。

③ 不定积分回代 + C，定积分换元必换限；凑系数别漏 1/2，三角开方看符号。

7 天复习计划

天	任务	自检标准
第1天	背 6 个凑微分式 + 3 种三角代换	默写全对
第2天	做⑤例题 + ⑩基础1-6	基础全对
第3天	⑩中档7-12 + ⑦真题	每题先说凑什么 u
第4天	看⑥错误 + 重做错题	定积分换限不出错
第5天	⑩拔高13-16	三角代换回代熟练
第6天	拔高17-18 + 即时自测	自测≥5/6
第7天	晨读必背卡 + 3 道新积分	不翻书做对

即时自测（点击选项即时判断）

共 6 题，覆盖本页核心。

∫ x f(x²)dx 凑微分后多了什么系数？

解析：d(x²)=2x dx，所以 x dx=d(x²)/2。

√(a²−x²) 应选代换？

解析：x=a sin t 利用 1−sin²=cos² 去根号。

√(x²+a²) 应选代换？

解析：x=a tan t 利用 1+tan²=sec²。

定积分换元后上下限？

解析：换元必换限，x=a→u=φ(a)。

∫ e^(2x)dx = ?

解析：凑 u=2x，du=2dx，得 (1/2)e^(2x)+C。

不定积分结果最后必须写？

解析：不定积分是原函数族，必写 +C。

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