三角函数 · 第 2 站
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数。核心口诀「奇变偶不变，符号看象限」一句话搞定所有 54 个公式。这是三角化简题的第一步。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
理解口诀含义：π/2 的倍数奇偶决定变不变名。
2练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，练 sin(π+α)、cos(π/2−α) 等。
3对（20 分钟）
用诱导公式化简复杂三角函数式。
4默（10 分钟）
背口诀和常用诱导公式。
第一课小目标① 用口诀判断 sin(π+α)=−sinα；② 化简 tan(π/2+α)。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
诱导公式
→
→
终边对称
π+α 关于原点
−α 关于 x 轴
π/2−α 关于 y=x
→
常用
sin(π+α)=−sinα
cos(π/2−α)=sinα
tan(−α)=−tanα
→
③ 先认识它：：一句话记全部
口诀：奇变偶不变，符号看象限。
把角写成 k·(π/2) ± α 的形式：
- k 是奇数：函数名变（sin↔cos, tan↔cot）
- k 是偶数：函数名不变
- 符号：把 α 当锐角，看原角在第几象限，原函数在该象限的正负号
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1：求 sin(7π/6)。
解：7π/6 = π + π/6。k=2（偶），名不变。π+π/6 在第三象限，sin 为负。sin(7π/6)=−sin(π/6)=−1/2。
例2：化简 cos(π/2+α)。
解：π/2+α，k=1（奇），变名 cos→sin。π/2+α 在第二象限，cos 为负。= −sinα。
例3：求 tan(−π/4)。
解：tan(−α)=−tanα。tan(−π/4)=−tan(π/4)=−1。
例4：已知 sin(π+α)=1/3，求 sinα。
解：sin(π+α)=−sinα=1/3 ⇒ sinα=−1/3。
高考考法诱导公式不单独出题，而是嵌在化简、求值大题的第一步。
⑥ 高频错误诊断
错误 1符号判断把 α 当钝角
✗ → ✓ 把 α 当锐角看象限
口诀说符号看象限，是把 α 当锐角。
错误 2k=1 时不变名
✗ → ✓ k 奇变名
π/2 的倍数，奇数倍要变。
错误 3sin(π−α)=−sinα
✗ → ✓ sin(π−α)=sinα
π−α 在第二象限，sin 正。
错误 4cos(−α)=−cosα
✗ → ✓ cos(−α)=cosα
余弦是偶函数。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. sin(7π/6) = ？
解析：7π/6=π+π/6，第三象限 sin 负。
2. cos(π/2+α) = ？
解析：k=1 奇变名，第二象限 cos 负。
3. 已知 sin(π+α)=1/3，则 sinα = ？
解析：sin(π+α)=−sinα。
⑧ 必背公式卡
奇变偶不变，符号看象限。
k 奇变名 sin↔cos，k 偶不变。
符号：把 α 当锐角，看原角所在象限的原函数正负。
sin(π+α)=−sinα，cos(π+α)=−cosα。
sin(−α)=−sinα，cos(−α)=cosα。
sin(π/2−α)=cosα，cos(π/2−α)=sinα。
一全正，二正弦，三正切，四余弦。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"诱导公式两步：① 看 k 奇偶定变不变名；② 把 α 当锐角看象限定符号。"
口述题
口头说：化简 cos(3π/2−α)。
参考答案：3π/2=3·π/2，k=3 奇变名 cos→sin。3π/2−α 在第三象限，cos 负。=−sinα。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1sin(π+α)=?
= −sinα。
基础3sin(π/2−α)=?
= cosα。
基础5sin(5π/6)=?
= sin(π−π/6)=sin(π/6)=1/2。
中档7cos(2π−α)=?
= cosα（2π 偶不变，第四象限 cos 正）。
中档8sin(3π/2+α)=?
k=3 奇变名→cosα。第四象限 sin 负。=−cosα。
中档9tan(π−α)=?
k=2 偶不变。第二象限 tan 负。=−tanα。
中档10已知 cos(π+α)=−1/2，求 cosα。
−cosα=−1/2 ⇒ cosα=1/2。
中档11化简 sin(π+α)·cos(π/2−α)。
=(−sinα)(cosα)=−sinαcosα。
中档12求 tan(7π/4)。
7π/4=2π−π/4。tan(−π/4)=−1。
拔高13化简 sin(π+α)·cos(π−α)·tan(−π−α)。
=(−sinα)(−cosα)(tan(−α))=(sinαcosα)(−tanα)=−sin²α。
拔高14已知 sin(π−α)=log₈(1/4)，α∈(π/2,π)，求 cos(π+α)。
sinα=−2/3。cosα=−√5/3。cos(π+α)=−cosα=√5/3。
拔高15化简 cos(π/2+α)·sin(π/2−α)。
=(−sinα)(cosα)=−sinαcosα。
拔高16求 sin(−19π/6)。
−19π/6+4π=5π/6。sin(5π/6)=1/2。
拔高17已知 tanα=2，求 tan(π+α)·sin(−α)。
=tanα·(−sinα)=2·(−2/√5)=−4/√5。
拔高18化简 [sin(π−α)cos(2π−α)]/[tan(π−α)]。
=[sinα·cosα]/(−tanα)=−cos²α。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 奇变偶不变，符号看象限。
② 把 α 当锐角，看原角在第几象限。
③ 一全正二正弦三正切四余弦。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 背口诀 + 常用三组公式 | 脱口而出 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 符号零错 |
| 第 4 天 | 默写象限符号表 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天化简 3 个三角式 | 零失误 |