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等比数列：an = a1·q^(n−1) 与求和
等比数列是相邻两项比值固定的数列：1,2,4,8,16,... 就是 q=2 的等比。它对应复利、细胞分裂、人口增长——指数增长是把双刃剑。通项和求和公式是必背的。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
理解 q 是公比，an 是第 n 项。
2推（15 分钟）
自己推求和公式（错位相减）。
3练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练 q=1 和 q≠1 分类。
4背（10 分钟）
背通项和求和两个公式。
第一课小目标① 写出 an 和 Sn 公式；② 求等比中项；③ q=1 时单独讨论。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
等比数列
→
→
通项
an=a1 q^(n−1)
an=am q^(n−m)
→
求和
q=1: Sn=na1
q≠1: Sn=a1(1−q^n)/(1−q)
→
③ 先认识它：：相邻两项比固定
定义：从第 2 项起，每一项与前一项的比等于同一个常数 q（q≠0），即 a(n+1)/a(n) = q。q>1 递增，0
q=1 是特殊情况q=1 时是常数列，Sn=na1（求和公式分母 1−q=0 不能用）。凡用求和公式前先判断 q=1 还是 q≠1。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1（基本）：a1=1, q=2，求 a5 和 S5。
解：a5 = 1·2⁴ = 16。S5 = 1·(1−2⁵)/(1−2) = (1−32)/(−1) = 31。
例2（知三求二）：a3=4, a5=16，求 a1 和 q。
解：a5/a3 = q² = 4 ⇒ q=±2。若 q=2：a1·4=4 ⇒ a1=1。若 q=−2：a1·4=4 ⇒ a1=1。a1=1, q=±2。
例3（性质）：等比数列中 a3·a7=16，求 a5。
解：3+7=2·5，所以 a3·a7=a5²=16 ⇒ a5=±4。
例4（q=1 分类）：Sn=2ⁿ−1，求 an。
解：n=1 时 a1=S1=1。n≥2 时 an=Sn−Sn−1=2ⁿ−1−(2ⁿ⁻¹−1)=2ⁿ⁻¹。检验 n=1 时 2⁰=1 ✓。an=2ⁿ⁻¹（a1=1, q=2）。
应用场景复利本息和、细胞分裂、GDP 增长、放射性衰变、折纸厚度（折 50 次比地球到月球还远）。
⑥ 高频错误诊断
错误 1q=1 时代入求和公式 Sn=a1(1−q^n)/(1−q)
✗ → ✓ q=1 时单独写 Sn=na1
分母为零，不能用公式。
错误 2等比中项写成 G=√(ab)
✗ → ✓ G=±√(ab)
等比中项有正负两个。
错误 3an = a1 q^n（忘减 1）
✗ → ✓ an = a1 q^(n−1)
第 n 项乘了 n−1 次 q。
错误 4性质 m+n=p+q 时 am+an=ap+aq
✗ → ✓ 等比是乘积 am·an=ap·aq
等比对应乘法，不是加法。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. 等比数列 {an} 中，a1=1, q=3，则 a4 = ？
解析：a4=1·3³=27。
2. 等比数列 {an} 中，a2·a8=16，则 a5 = ？
解析：2+8=2·5，a2·a8=a5²=16，a5=±4。
3. 等比数列 {an} 中，a1=2, q=1，则 S10 = ？
解析：q=1 是常数列，S10=10·2=20。
⑧ 必背公式卡
an = a1 q^(n−1) = am q^(n−m)。
q=1: Sn=na1；q≠1: Sn=a1(1−q^n)/(1−q)。
m+n=p+q ⇒ am·an=ap·aq。
等比中项 G²=ab，G=±√(ab)。
Sn, S2n−Sn, S3n−S2n 仍成等比（q≠−1）。
q=0 不是等比数列（公比不能为 0）。
求和前先判断 q=1 还是 q≠1。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"等比题先找 a1 和 q：① 给两项列方程组；② 求和先判 q=1；③ 下标和相等用乘积性质；④ 由 Sn 求 an 用 an=Sn−Sn−1（n≥2）并检验 a1。"
建模题
某人第一天存 1 元，第二天存 2 元，第三天存 4 元，每天翻倍，第 30 天存多少？30 天共存多少？
参考答案：a30=2²⁹=536870912 元。S30=(1−2³⁰)/(1−1)=2³⁰−1=1073741823 元（指数增长的恐怖）。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1a1=3, q=2，求 a3。
a3=3·2²=12。
基础2a1=1, q=2，求 S4。
S4=(1−16)/(1−2)=15。
基础32 和 8 的等比中项 G=?
G²=16 ⇒ G=±4。
基础5a1=2, a4=16，求 q。
q³=8 ⇒ q=2。
基础61,1,1,1 是什么数列？
既是等差（d=0）又是等比（q=1）。
中档7a3=6, q=2，求 a1。
a1·4=6 ⇒ a1=3/2。
中档8a1=1, q=−1，求 S100。
S100=1·(1−(−1)¹⁰⁰)/(1−(−1))=(1−1)/2=0。
中档9a1+a3=10, a2+a4=5，求 a1 和 q。
q(a1+a3)=a2+a4=5 ⇒ q=1/2。a1+a1/4=10 ⇒ a1=8。
中档10Sn=3ⁿ−1，求 an。
a1=S1=2。n≥2: an=3ⁿ−1−(3ⁿ⁻¹−1)=2·3ⁿ⁻¹。检验 n=1: 2·1=2 ✓。an=2·3ⁿ⁻¹。
中档11三个数成等比，积为 64，和为 14，求这三个数。
设 a/q, a, aq。积=a³=64 ⇒ a=4。4/q+4+4q=14 ⇒ 2q²−5q+2=0 ⇒ q=2 或 1/2。2,4,8。
中档12等比数列中 a1=1, a5=16，求 S5。
q⁴=16 ⇒ q=±2。q=2: S5=31；q=−2: S5=(1−(−2)⁵)/3=11。31 或 11。
拔高13等比数列 {an} 中 a1=2, S3=6，求 q。
2+2q+2q²=6 ⇒ q²+q−2=0 ⇒ q=1 或 −2。q=1 时 S3=6 ✓；q=−2 时 S3=2−4+8=6 ✓。q=1 或 −2。
拔高14正项等比数列 {an} 中 a1=1, a3=2a2+3，求 an。
q²=2q+3 ⇒ q²−2q−3=0 ⇒ q=3（正）。an=3ⁿ⁻¹。
拔高15求和 1+2+4+...+2ⁿ。
= 2ⁿ⁺¹−1。
拔高16等比数列 {an} 中 S3=7, S6=63，求 a1 和 q。
S6/S3=(1−q⁶)/(1−q³)=1+q³=9 ⇒ q³=8 ⇒ q=2。S3=a1(1−8)/(1−2)=7a1=7 ⇒ a1=1。
拔高17某厂去年产值 100 万，每年增长 10%，问第 5 年产值？
a5=100·(1.1)⁴≈146.41 万。
拔高18已知等比数列 {an} 前 n 项和 Sn=2ⁿ−1，求 a1²+a2²+...+an²。
an=2ⁿ⁻¹。an²=4ⁿ⁻¹，是首项 1、公比 4 的等比。和 = (1−4ⁿ)/(1−4)=(4ⁿ−1)/3。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀
① 通项首项乘 q 的 n−1 次方，和先看 q 等不等 1。
② q=1 常数列，q≠1 套公式。
③ 等比对应乘，中项平方等两端。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 推通项和求和公式 | 不看书能推 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | q=1 分类不漏 |
| 第 4 天 | 默写 an, Sn 公式 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天做 2 道知三求二题 | 零失误 |