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模块 · 高等数学 · 一阶微分方程
含导数的方程叫微分方程——已知变化率反推原函数。一阶方程三类最常见：可分离变量（把 x、y 分两边积）、齐次（令 u=y/x 化分离）、一阶线性（套通解公式）。它们是物理建模的日常：冷却、衰变、电路 RC、人口增长都长这样。
① 本科第一课怎么学（衔接高中）
总用时约 70 分钟，4 步走，一步不跳。高中你已经见过极限的"ε-δ"影子，本科要把它从"直观"升级成"会算、会证、会用"。
1读（15min）
看③④：三类方程识别特征、通解公式。
2练（20min）
做⑤例题，练"先判类型再选方法"。
3辨（15min）
看⑥：分离时漏负号、线性方程不化标准形。
4测（20min）
做⑦真题和⑩练习。
本课小目标：学完你要能：① 认出三类一阶方程；② 用分离变量法和线性公式求解；③ 用初值条件定常数 C。
② 一图看懂全课（SVG 思维导图）
本模块知识地图
从根节点出发，五大分支覆盖定义、定理、算法、易错、考点。先有地图再走路。
③ 先认识它：微分方程：从"变化率"反推"原函数"
什么是微分方程：含有未知函数 y(x) 及其导数 y′ 的方程。如 y′=2y 表示"增长率和当前量成正比"，解出来是 y=Ce^(2x)。阶是最高阶导数的阶数；一阶就是只含 y′。
核心思路：不同长相的方程有不同解法。可分离：把含 y 的全甩左边、含 x 的全甩右边，各自积分。齐次：右边是 y/x 的函数，令 u=y/x 换元。线性：y′+P(x)y=Q(x) 套现成通解公式。
④ 完整定理 / 公式体系表
| 类型 | 标准形式 | 解法 | 通解 |
|---|
| 可分离变量 | dy/dx=f(x)g(y) | 分离两边积分 | ∫dy/g(y)=∫f(x)dx+C |
| 齐次 | dy/dx=φ(y/x) | 令 u=y/x, y=ux | 化为可分离 |
| 一阶线性 | y′+P(x)y=Q(x) | 积分因子 μ=e^(∫Pdx) | y=(∫μQdx+C)/μ |
| 伯努利 | y′+P y=Q yⁿ | 令 z=y^(1−n) | 化为线性 |
关键：先把方程化成 y′+P(x)y=Q(x) 的标准形，P、Q 才读得对。⑤ 典型用法与例题（3 道递进）
例1（入门）：解 y′ = 2xy
可分离。
① dy/dx=2xy → dy/y=2x dx。
② 两边积分：ln|y|=x²+C₁。
③ y=Ce^(x²)（C 为任意常数）。
例2（进阶）：解 y′ = y/x + (y/x)²（齐次）
令 u=y/x。
① y=ux，y′=u+xu′。
② 代入：u+xu′=u+u² → xu′=u²。
③ du/u²=dx/x → −1/u=ln|x|+C。
④ 回代 u=y/x：−x/y=ln|x|+C。
例3（考研难度）：解 y′ + y = e^(−x)
一阶线性，套公式。
① P(x)=1，Q(x)=e^(−x)。积分因子 μ=e^(∫1dx)=eˣ。
② y=(∫eˣ·e^(−x)dx+C)/eˣ=(∫1dx+C)/eˣ=(x+C)e^(−x)。
⑥ 高频错误诊断（5 条）
⚠ 分离时漏绝对值
∫dy/y=ln|y|+C，不是 ln y+C。脱掉 ln 后写成 y=Ce^…（C 可正可负）即可。
⚠ 线性方程不化标准形
y′+P y=Q 中 P、Q 必须是"y′ 的系数为 1"。若原题是 xy′+y=…，先除以 x 化标准形再读 P、Q。
⚠ 初值条件忘了定 C
通解带任意常数 C；给了 y(x₀)=y₀ 就代进去把 C 求出来，得到特解。
⚠ 齐次方程换元后忘了回代
求出 u(x) 后必须回代 u=y/x，写成 y(x)。
⚠ 把齐次和线性混
齐次看右边是不是 φ(y/x)；线性看 y′ 和 y 是否一次。识别错了方法全错。
⑦ 考研 / 期末考点与真题演练（3 题）
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 计算题 | 解给定方程 | 先判类型 |
| 初值问题 | 通解+条件 | 最后定 C |
| 建模 | 冷却/衰变 | 列方程再解 |
真题风格演练（紫色标签）
真题1（数一真题）解初值问题 y′=xy，y(0)=1。
分离：y=Ce^(x²/2)。代 y(0)=1 → C=1，y=e^(x²/2)。
真题2（数二真题）解 y′−y=2x eˣ。
P=−1,Q=2x eˣ，μ=e^(−x)，y=eˣ(∫2x dx+C)=eˣ(x²+C)。
真题3（数三真题）物体冷却：T′=−k(T−T₀)，T(0)=T₁。
分离：dT/(T−T₀)=−k dx，T−T₀=Ce^(−kt)，代初值得 T=T₀+(T₁−T₀)e^(−kt)。
⑧ 必背公式 / 定理卡
每天晨读 3 张，3 天背到条件反射
卡1：可分离：dy/g(y)=f(x)dx，两边积分
卡2：齐次：令 u=y/x，y=ux，y′=u+xu′
卡3：一阶线性：y=e^(−∫Pdx)[∫Q e^(∫Pdx)dx+C]
卡4：积分因子 μ=e^(∫Pdx)
卡5：通解带 C，初值定 C
卡6：冷却 T=T₀+(T₁−T₀)e^(−kt)（牛顿冷却）
⑨ 应用输出：建模 / 证明口述 / 实际应用
合上书本，大声说出来才算会
口述1：什么叫"可分离变量"？为什么能把 x、y 甩两边？
口述2：一阶线性方程通解公式怎么记？积分因子是什么？
口述3：齐次方程为什么令 u=y/x？换元后方程变成什么？
建模：一杯热水 90℃ 放室温 25℃，口述它按什么曲线降温、多久到 30℃。
实际应用场景：一阶微分方程是物理建模的入门：牛顿冷却定律、放射性衰变（碳14测年）、RC 电路充放电、人口指数增长、药物在体内浓度衰减，全部是可分离或一阶线性。经济学中连续复利、库存模型也是。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6，含解析）
基础3可分离方程 dy/y=dx 积出？
ln|y|=x+C。
基础5一阶线性标准形？
y′+P(x)y=Q(x)。
中档7y′=y/x 的通解？
分离：y=Cx。
中档8y′+y=0 的通解？
y=Ce^(−x)。
中档9y′=x/y 的通解？
y dy=x dx：y²=x²+C。
中档10y′+2y=0 的通解？
y=Ce^(−2x)。
中档11y′=1+y²，y(0)=0 的特解？
arctan y=x，y=tan x。
中档12y′=y/x+x（齐次？线性？）
一阶线性（也是齐次+特解），y=x(C+ln|x|)。
拔高13解 xy′−y=x²，y(1)=0。
化标准 y′−y/x=x，μ=1/x，y=x(x+C)，代 y(1)=0→C=−1，y=x²−x。
拔高14解 y′=y/x+x tan(y/x)。
齐次令 u=y/x，sec u du=dx/x，sin u=Cx，sin(y/x)=Cx。
拔高15放射性衰变：N′=−λN，N(0)=N₀。
N=N₀e^(−λt)，半衰期 T=ln2/λ。
拔高16解 y′=y/(2x)+x²/(2y)（伯努利）。
令 z=y²，z′=z/x+x²，线性解 z=x³+Cx。
拔高17解 (x²−y²)dx+(2xy)dy=0（全微分/齐次）。
齐次令 u=y/x，通解 x²+y²=Cx。
拔高18RC 电路：RC q′+q=CV，q(0)=0。
q=CV(1−e^(−t/RC))，电容充电曲线。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句话口诀① 一阶方程先分型：分离齐次线性；分离两边各自积，齐次换元 u=y/x。
② 线性套公式，积分因子 e^(∫P)；标准形要化好，P Q 才读得准。
③ 通解必带任意 C，初值一代特解出；冷却衰变 e 的负指，建模先列变化率。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 背三类方程解法 + 线性公式 | 默写全对 |
| 第2天 | 做⑤例题 + ⑩基础1-6 | 基础全对 |
| 第3天 | ⑩中档7-12 + ⑦真题 | 每题先判类型 |
| 第4天 | 看⑥标准形陷阱 + 重做错题 | 线性化标准形不出错 |
| 第5天 | ⑩拔高13-16 | 伯努利/齐次熟练 |
| 第6天 | 拔高17-18 + 即时自测 | 自测≥5/6 |
| 第7天 | 晨读必背卡 + 2 个建模题 | 独立列方程求解 |
即时自测（点击选项即时判断）
共 6 题，覆盖本页核心。
y′=2xy 属于哪种？
解析：右端=2x·y，x 和 y 可分离到两边。
齐次方程 dy/dx=φ(y/x) 通常令？
解析：令 u=y/x，y=ux，化为可分离。
一阶线性 y′+P(x)y=Q(x) 的积分因子是？
解析：μ=e^(∫Pdx)。
y′+y=0 的通解是？
解析：分离 dy/y=−dx，ln|y|=−x，y=Ce^(−x)。
通解中的任意常数 C 由什么确定？
解析：给 y(x₀)=y₀ 代入定 C。
牛顿冷却 T′=−k(T−T₀) 的解是？
解析：分离变量得 T=T₀+(T₁−T₀)e^(−kt)。