知识点深化 · 导数 · 小白第一课
极值与最值：函数的山峰和山谷，以及区间最大最小
函数图像上哪里是"山头"（极大值）、哪里是"山谷"（极小值）？闭区间上的最大值又在哪里？这就是导数的重头戏：求极值、求最值、含参讨论。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 60 分钟，拆成 4 步，一步都别跳：
1读（15分钟）
读③④：极值定义、极值点判别、闭区间最值。
2找（15分钟）
做⑤：求 f′=0 的点，判两侧符号。
3练（15分钟）
做⑩：求极值、闭区间最值。
4说（15分钟）
做⑨：口述极值和最值区别。
第一课小目标学完要能：① 找驻点并判极值；② 求闭区间最值；③ 处理含参讨论。
② 一图看懂全课（思维导图）
读法：从中心节点出发，按五大分支走，每支下的小节点全记住就通关。
③ 先认识它
一句话：极值是局部"山头/山谷"，最值是整个区间的最高/最低。求极值看 f′ 在驻点左右是否变号；求闭区间最值要比所有驻点和端点。
极值 ≠ 最值极值是局部概念（附近最大/最小），最值是全局概念。闭区间最值 = 所有极值和端点值比大小。
④ 完整公式 / 体系表
判别法
极值点：f′(x₀)=0（或导数不存在）且 f′ 在 x₀ 左右变号
左正右负 → 极大值；左负右正 → 极小值
闭区间 [a,b] 最值：比较 f(驻点) 与 f(a)、f(b)
| 点 | 左 f′ | 右 f′ | 结论 |
|---|
| x₀ | + | − | 极大值 |
| x₀ | − | + | 极小值 |
| x₀ | + | + | 非极值 |
f′=0 不一定是极值f(x)=x³ 在 x=0 处 f′=0，但左右都是正的（x³ 单调增），所以 x=0 不是极值点。必须看变号。
⑤ 用法场景与典型例题
| 步骤 | 操作 |
|---|
| 1 | 求 f′，求驻点 f′=0 |
| 2 | 列表判左右符号 |
| 3 | 写出极值 |
| 4 闭区间 | 比端点 |
例：f(x)=x³−3x 在 [−2,2] 最值
解：f′=3(x²−1)=0 → x=±1。f(−1)=2（极大），f(1)=−2（极小）。端点 f(−2)=−2，f(2)=2。比大小：max=2，min=−2。
⑥ 高频错误诊断
错误1：f′=0 就当极值点
x³ 在 0 处 f′=0 但不是极值。必须看左右变号。
错误2：闭区间最值忘比端点
只看驻点漏掉端点，最值可能在端点。
错误3：极大值就是最大值
极大值是局部，最大值才是全局。
错误4：含参不分类
极值点位置随参数变，必须按参数范围讨论。
错误5：极值和极值点混淆
极值是函数值 f(x₀)，极值点是 x₀。
⑦ 考点与真题演练
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 选择/填空 | 求极值/最值 | 求导+判变号 |
| 解答题 | 闭区间最值 | 驻点+端点比 |
| 压轴题 | 含参讨论极值 | 分类讨论 |
真题风格演练（点击选项即时判断）
真题风格·填空f′(x) 在 x₀ 左正右负，则 x₀ 是？
真题风格·解答闭区间求最值要比较哪些值？
考场提分提醒极值题画符号表最稳：横轴上标出驻点，逐段标 f′ 正负和 f 增减，峰谷一目了然。闭区间最后一定把端点值也写进去比。
⑧ 必背公式卡
1. 极值点：f′=0 且左右变号。
2. 左正右负极大，左负右正极小。
3. f′=0 不一定极值（如 x³）。
4. 闭区间最值=驻点+端点比大小。
5. 极值局部，最值全局。
6. 含参按驻点位置分类。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述训练
练习 A：说 x³ 在 0 为什么不是极值——左右都递增，没有变号。
练习 B：说为什么闭区间最值要比端点——端点可能更高/更低。
练习 C（建模）：用料最省、利润最大都是求最值问题。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1f(x)=x² 在 x=0 是极什么值？
极小值。
基础2f′ 左正右负是什么点？
极大值点。
基础3闭区间最值要比什么？
驻点+端点。
基础4f(x)=x³ 在 x=0 是极值吗？
不是。
基础6f′(x₀)=0 一定是极值点吗？
不一定。
中档7f(x)=x²−4x+3 的极小值。
f′=2x−4=0→x=2，f(2)=−1，极小值 −1。
中档8f(x)=x³−3x 的极大值。
f′=3(x²−1)，x=−1 左正右负，f(−1)=2，极大值 2。
中档9f(x)=x+1/x（x>0）的极小值。
f′=1−1/x²=0→x=1，f(1)=2，极小值 2。
中档10f(x)=x² 在 [0,3] 上最大值。
f(3)=9 最大，9。
中档11f(x)=x² 在 [−2,1] 上最小值。
f(0)=0 最小。
中档12f(x)=−x²+2x 的极大值。
f′=−2x+2=0→x=1，f(1)=1，极大值 1。
拔高13f(x)=x³−3x 在 [0,2] 最值。
f′=3(x²−1)，驻点 x=1。f(0)=0,f(1)=−2,f(2)=2。max=2，min=−2。
拔高14f(x)=x·e^x 的极值。
f′=e^x(1+x)=0→x=−1。左负右正，极小值 f(−1)=−1/e。
拔高15讨论 f(x)=x³−3ax 的极值。
f′=3(x²−a)。a≤0 无极值；a>0 时 x=−√a 极大，x=√a 极小。
拔高16f(x)=x³−3x+1 在 [−2,0] 最值。
驻点x=−1,1。f(−2)=−1,f(−1)=3,f(0)=1。max=3,min=−1。
拔高17f(x)=x·lnx 的极小值。
f′=lnx+1=0→x=1/e，极小值 −1/e。
拔高18f(x)=x³−3x²+2 的极值。
f′=3x(x−2)。x=0极大2，x=2极小−2。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 驻点先看变不变号，左正右负极大，左负右正极小。
② 闭区间最值比端点，驻点端点一起列。
③ f′=0 未必极值，x³ 在 0 是反例。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 读③④ + 记判别法 | 默写极大极小判据 |
| 第2天 | 做基础1-6 | 6题全对 |
| 第3天 | 做中档7-12 | 会求极值 |
| 第4天 | 做拔高13-15 | 会闭区间+含参 |
| 第5天 | 做⑦真题3题 | 全对 |
| 第6-7天 | 口述极值与最值区别 | 举 x³ 反例 |