椭圆
完整体系
→
→
标准方程
x²/a²+y²/b²=1
a>b>0
焦点在x轴
→
a/b/c
a 半长轴
b 半短轴
c 半焦距
b²=a²−c²
→
离心率
e=c/a
→
焦点三角形
∠F1PF2
面积=b²tan(θ/2)
余弦定理
③ 先认识它：椭圆就是「压扁的圆」
平面上到两定点 F₁、F₂（焦点）距离之和等于常数 2a（且 2a>|F₁F₂|=2c）的点的轨迹。|PF₁|+|PF₂|=2a。
a、b、c 谁大谁小a 是半长轴（最大），c 是半焦距，b 是半短轴。永远 a²=b²+c²，即 b²=a²−c²。焦点在长轴上。
⑤ 用法场景与典型例题
例：椭圆 x²/25 + y²/9 = 1，求 a,b,c,e。
a²=25→a=5；b²=9→b=3；c²=25−9=16→c=4；e=c/a=4/5。焦点在 x 轴 (±4,0)。
例：椭圆上一点 P 到左焦点距离为 3，求 P 到右焦点距离。由定义 |PF₁|+|PF₂|=2a=10，得 |PF₂|=7。
先判断焦点在哪轴看分母哪个大：分母大的是 a²，焦点就在那条轴上。别默认焦点都在 x 轴。
易错再提醒① 先看分母大小定焦点轴，别默认在 x 轴；② a²=b²+c² 中 a 永远最大；③ 椭圆上点到焦点距离范围是 [a−c, a+c]；④ 焦点三角形面积别和周长混。把这四条写在错题本首页。
典型真题精练
题：e=1/2，长轴 8，求椭圆方程。
解：a=4，c=2，b²=12。焦点在 x 轴：x²/16+y²/12=1；在 y 轴：y²/16+x²/12=1。未指明轴时两解都写。
⑥ 高频错误诊断
错误 1a,b,c 关系记反
✗ → ✓ 写成 c²=a²+b²
永远 a²=b²+c²，a 最大。
错误 2焦点位置判断错
✗ → ✓ 默认焦点在 x 轴
看哪个分母大，焦点在长轴。
错误 3离心率 e>1
✗ → ✓ 椭圆 e 写成 c/a 且 >1
椭圆 01 是双曲线。
错误 4通径公式记错
✗ → ✓ 通径=a²/b
通径=2b²/a。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 求方程 | 给 a,b 或 a,c | 定轴→写标准式 |
| 离心率 | 给 a,c 关系 | e=c/a，用 b²=a²−c² |
| 焦点三角形 | 椭圆上点与两焦点 | 定义+余弦定理+面积 |
真题风格演练
真题风格自测（点击选项即时判断）
1. 椭圆 x²/16 + y²/7 = 1 的离心率 e=？
2. 椭圆中 a、b、c 关系正确的是？
3. 椭圆上一点到两焦点距离和为 10，则 a=？
考场提醒椭圆题先「看分母定 a，再 b²=a²−c² 求 c」。焦点三角形用定义把两腰用 2a 表示，再上余弦定理。
⑧ 必背公式卡
方法总结：椭圆题四步① 看分母定 a²、焦点轴；② 由 b²=a²−c² 求 c，写 e=c/a；③ 焦点三角形先用定义把两腰凑成 2a；④ 直线联立走韦达弦长。椭圆 e 永远小于 1，看到 e>1 一定是混了双曲线。
定义：|PF₁|+|PF₂|=2a。
关系：a²=b²+c²（a 最大）。
离心率：e=c/a，0
通径：2b²/a。
焦点三角形面积：b²tan(θ/2)。
知识脉络椭圆从「到两焦点距离和为定值」定义出发，推出标准方程，再由 a,b,c 关系得到离心率与焦点三角形。整条链：定义→方程→几何性质→直线联立。考试时先判断焦点轴，再套 a,b,c,e 四量关系，知二求二。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
建模：行星轨道椭圆，太阳在一个焦点，近日点距离 1、远日点距离 3，求 a 和 c。
近日点 a−c=1，远日点 a+c=3 → a=2，c=1。
口述：为什么 e 越接近 0 椭圆越圆？e=c/a，e→0 即 c→0，两焦点重合为圆心，椭圆就变成半径 a 的圆。
延伸：焦点三角形的常用结论椭圆上点 P 与两焦点围成三角形，周长=2a+2c；若 ∠F₁PF₂=θ，则面积 S=b²tan(θ/2)；当 P 在短轴端点时这个角最大。这些结论选择填空直接用，大题要会推导。椭圆的光学性质：从一个焦点发出的光经椭圆壁反射后必到另一焦点。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1椭圆定义 |PF1|+|PF2|=？
2a。
基础2椭圆中最大的量是 a,b,c 哪个？
a（半长轴）。
基础3a²=25，b²=16，c=？
c²=9，c=3。
基础4椭圆离心率 e 范围？
0
基础5x²/9+y²/4=1 焦点在哪轴？
x 轴（9>4）。
基础6椭圆 e=c/a 中 c 是？
半焦距。
中档7x²/25+y²/16=1，求 e。
c=3，e=3/5。
中档8椭圆上 P 到左焦点 4，到右焦点？
2a=10，到右=6。
中档9a=5，c=3，b=？
b²=25−9=16，b=4。
中档11焦点在 y 轴的标准方程？
y²/a²+x²/b²=1。
中档12e=1/2，a=4，c=？
c=ae=2。
拔高13椭圆焦距 6，长轴长 10，求 b。
2c=6→c=3；2a=10→a=5；b=4。
拔高14焦点三角形 ∠F₁PF₂=90°，求面积。
S=b²tan45°=b²。
拔高15离心率 √2/2，b=2，求 a。
c/a=√2/2，b²=a²−c²=a²/2=4→a=2√2。
拔高16为什么椭圆要求 2a>2c？
否则轨迹退化为线段或不存在。
拔高17椭圆 x²/a²+y²/b²=1 过 (a,0) 吗？
过，这是右顶点。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
口诀椭圆定义到两焦点之和 2a，a 最大 b 平方等于 a 方减 c 方，离心率 c 比 a 介于零一之间。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 读全页 + 背公式卡 | 能默写核心公式 |
| 第 2 天 | 做基础 1–6 | 全对即可 |
| 第 3 天 | 做中档 7–12 + 错题回看 | 错题重做全对 |
| 第 4 天 | 做拔高 13–18 | 能口述解题步骤 |
| 第 5 天 | 重做错题 + 真题自测 3 题 | 选择题全对 |
| 第 6 天 | 合上书默画思维导图 | 11 块不遗漏 |
| 第 7 天 | 给同学讲一遍本知识 | 讲清楚 = 真会 |