平面向量 · 第 2 站
平面向量数量积：定义 / 投影 / 夹角
两个向量怎么“乘”？结果不是向量而是一个数——这就是数量积（点积）a·b = |a||b|cosθ。它把长度和角度联系起来，是向量板块计算夹角、垂直、投影的核心工具。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
理解 a·b 是数量不是向量，几何意义是投影。
2练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练夹角公式。
3对（20 分钟）
用数量积判垂直、求模长。
4默（10 分钟）
背数量积三个公式和重要性质。
第一课小目标① 用定义算 a·b；② 用 cosθ 求夹角；③ 用 a·b=0 判垂直。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
数量积
→
定义
a·b=|a||b|cosθ
结果是数量
θ∈[0,π]
→
投影
|b|cosθ
a 方向上投影
a·b=|a|·投影
→
性质
a⊥b ⇔ a·b=0
a·a=|a|²
|a·b|≤|a||b|
→
③ 先认识它：：两个向量的“乘积”是个数
定义：已知两个非零向量 a,b，夹角为 θ（0≤θ≤π），则数量积 a·b = |a||b|cosθ。零向量与任何向量数量积为 0。
几何意义：a·b 等于 |a| 乘以 b 在 a 方向上的投影 |b|cosθ。
a·b 是数量，不是向量！写法 a·b（中间点），结果是数。不要写成 a×b（那是叉积，三维才学）。a·b=0 不一定 a=0 或 b=0，可能是垂直。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1（定义）：|a|=3, |b|=4, θ=60°，求 a·b。
解：a·b = 3·4·cos60° = 12·½ = 6。
例2（求夹角）：|a|=|b|=√2, a·b=1，求 θ。
解：cosθ = 1/(√2·√2) = ½。θ = 60°。
例3（垂直）：|a|=2, |b|=3, (2a−3b)·(2a+b)=13，求 a·b。
解：展开：4|a|²−4a·b−3|b|² = 13。4·4−4a·b−3·9 = 13。16−4a·b−27=13。−4a·b=24。a·b = −6。
例4（求模）：|a|=1, |b|=2, a·b=1，求 |a+b|。
解：|a+b|² = (a+b)·(a+b) = |a|²+2a·b+|b|² = 1+2+4 = 7。|a+b| = √7。
应用场景物理：功 W=F·s（力乘位移在力方向的投影）；几何：证垂直、求角、求长度；余弦定理就是数量积推导的。
⑥ 高频错误诊断
错误 1a·b 结果写成向量
✗ → ✓ a·b 是数量（数）
中间点乘出来是个数。
错误 2a·b=0 就说 a=0 或 b=0
✗ → ✓ 可能是 a⊥b
非零向量也能点积为 0。
错误 3(a+b)² 展开写成 |a|²+|b|²
✗ → ✓ = |a|²+2a·b+|b|²
别漏交叉项。
错误 4θ=0 时 cosθ=0
✗ → ✓ cos0°=1，cos90°=0
锐角点积正，钝角点积负。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. |a|=2, |b|=3, a·b=3，则 cosθ = ？
解析：cosθ=3/(2·3)=1/2。
2. a⊥b（非零），则 a·b = ？
解析：垂直时点积为 0。
3. |a|=1, |b|=2, a·b=1，则 |a−b| = ？
解析：|a−b|²=|a|²−2a·b+|b|²=1−2+4=3。|a−b|=√3。
⑧ 必背公式卡
a·b = |a||b|cosθ，结果是数量。
cosθ = (a·b)/(|a||b|)。
a⊥b ⇔ a·b=0。
|a|² = a·a。
a·b>0 锐角，a·b<0 钝角。
(a±b)² = |a|²±2a·b+|b|²。
分配律成立，但 (a·b)·c 不能结合。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"数量积三步走：① 见模长先平方（a·a=|a|²）；② 见夹角套 cosθ；③ 见垂直判 a·b=0。求 |a+b| 就平方展开。"
口述题
口头说：|a|=2, |b|=1, a 与 b 夹角 120°，求 a·b 和 |a+2b|。
参考答案：a·b=2·1·cos120°=−1。|a+2b|²=|a|²+4a·b+4|b|²=4−4+4=4。|a+2b|=2。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1|a|=2,|b|=3,θ=0°，a·b=?
= 6。
基础4cosθ 公式：cosθ=?
= (a·b)/(|a||b|)。
基础5a·b<0，θ 是锐角还是钝角？
钝角。
中档7|a|=3,|b|=4,a·b=6，求 θ。
cosθ=6/12=1/2 ⇒ θ=60°。
中档8|a|=1,|b|=2,a·b=−1，求 |a+b|。
|a+b|²=1−2+4=3 ⇒ √3。
中档9a=(1,2),b=(2,−1)，a·b=?
= 2−2=0 ⇒ a⊥b。
中档10|a|=|b|=1,a·b=1/2，求 |a−b|。
|a−b|²=1−1+1=1 ⇒ 1。
中档11a=(2,3)，求 |a|。
= √(4+9)=√13。
中档12|a|=2,|b|=3,|a+b|=√19，求 a·b。
19=4+2a·b+9 ⇒ a·b=3。
拔高13|a|=1,|b|=2,|a−b|=√7，求 a·b。
7=1−2a·b+4 ⇒ a·b=−1。
拔高14|a|=|b|=1,a⊥b，求 |a+b|。
= √(1+0+1)=√2。
拔高15(a+2b)·(a−3b)=−60, |a|=2,|b|=3，求 a·b。
|a|²−a·b−6|b|²=−60 ⇒ 4−a·b−54=−60 ⇒ a·b=10。
拔高16a=(1,√3)，求与 a 同向的单位向量。
|a|=2。单位向量 = (1/2, √3/2)。
拔高17|a|=2,|b|=3,a 与 b 夹角 60°，求 |2a−3b|。
|2a−3b|²=4|a|²−12a·b+9|b|²=16−12·3+81=61。|2a−3b|=√61。
拔高18在 △ABC 中，AB·AC=|AB||AC|，判断三角形形状。
cosA=1 ⇒ A=0°。不可能，应为 AB·AC=|AB||AC|cosA=|AB||AC| ⇒ cosA=1 ⇒ A=0°。若改为 AB·AC=0 则 A=90° 直角三角形。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀
① 数量积是个数，|a||b|cosθ。
② 垂直点积等于零，求模先平方。
③ 夹角套 cosθ 公式，锐角正来钝角负。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 读③④部分 + 背定义式 | 三个公式熟 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 平方展开不漏项 |
| 第 4 天 | 默写数量积性质表 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天算 2 个夹角和模长 | 零失误 |