知识点深化 · 概率统计 · 小白第一课
分布列：把随机变量的"命运"列成一张表
掷一枚骰子，点数 X 是随机的。它可能取几？每个值概率多大？平均（期望）是几？波动（方差）多大？这一页用一张"分布列"把这些问题一次解决，再学会算 E(X) 和 D(X)——这是后面二项分布、正态分布的地基。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 60 分钟，拆成 4 步，一步都别跳：
1读（15分钟）
读③④：分布列两行表、两大性质、期望方差定义。
2写（15分钟）
做⑤：给一个试验，自己写出 X 的所有取值和对应概率。
3练（15分钟）
做⑩：重点练"由分布列求 E(X)、D(X)"。
4说（15分钟）
做⑨：口述 E(X) 为什么是加权平均、D(X) 衡量什么。
第一课小目标学完要能：① 写出离散型随机变量的分布列；② 用 Σp=1 求未知参数；③ 算 E(X)=Σxᵢpᵢ 和 D(X)=Σ(xᵢ−E)²pᵢ。
② 一图看懂全课（思维导图）
读法：从中心节点出发，按五大分支走，每支下的小节点全记住就通关。
③ 先认识它
一句话：随机变量 X 是把试验结果"数值化"的变量；分布列就是把 X 所有可能取值和对应概率排成两行表。它把"随机"这件事彻底钉死——X 能取什么、各多大概率，一目了然。
分布列两大性质（检验用）① 每个概率 pᵢ ≥ 0；② 所有概率之和 Σpᵢ = 1。题目给含参分布列求参数，第一步就是用 Σp=1 列方程。
④ 完整公式 / 体系表
期望与方差（必背）
分布列： X ~ [x₁ x₂ … xₙ ; p₁ p₂ … pₙ]
期望 E(X) = Σ xᵢpᵢ （加权平均，X 的"重心"）
方差 D(X) = Σ (xᵢ−E(X))²pᵢ = E(X²) − [E(X)]² （波动大小）
标准差 σ(X) = √D(X)
| 性质 | 公式 | 记忆 |
|---|
| 期望线性 | E(aX+b)=aE(X)+b | b 平移，期望也平移 |
| 方差平移不变 | D(aX+b)=a²D(X) | b 不影响波动，a 平方放大 |
| 独立和 | E(X+Y)=E(X)+E(Y) | 始终成立 |
| 独立方差和 | D(X+Y)=D(X)+D(Y) | 仅当 X,Y 独立 |
D(X) 简化算法用 D(X)=E(X²)−[E(X)]² 常常比"每个减均值平方"快：先算 E(X)，再算 E(X²)=Σxᵢ²pᵢ，一减即可。
⑤ 用法场景与典型例题
| 场景 | 怎么写分布列 |
|---|
| 投篮命中数 | X=投中次数，列 0,1,2…及概率 |
| 抽奖收益 | X=奖金（含 0 元），列各档位概率 |
| 比赛得分 | 按得分情况列取值与概率 |
例：求 E(X)、D(X)X 的分布列为：X: 0, 1, 2；P: 0.2, 0.5, 0.3。
E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=0.5+0.6=1.1。
E(X²)=0×0.2+1×0.5+4×0.3=0.5+1.2=1.7。
D(X)=1.7−(1.1)²=1.7−1.21=0.49。
例：含参分布列X: 1, 2, 3；P: a, 2a, 3a。求 a 与 E(X)。
由 Σp=1：a+2a+3a=6a=1 → a=1/6。
E(X)=1×(1/6)+2×(2/6)+3×(3/6)=(1+4+9)/6=14/6=7/3。
⑥ 高频错误诊断
错误1：写分布列漏了"0 取值"
投篮 3 次，X=命中次数要列 0,1,2,3 四个值，不能从 1 开始。所有可能取值都要列全。
错误2：不用 Σp=1 求参
给含参分布列，先检查概率和是否为 1，这是求参数的方程。
错误3：D(aX+b) 写成 aD+b
正确是 D(aX+b)=a²D(X)，b 不影响方差。平移不改变波动，缩放要平方。
错误4：E(X²) 算成 [E(X)]²
E(X²)=Σxᵢ²pᵢ，不等于 (E(X))²。这俩差就是方差。
错误5：不独立也用 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
方差相加只在独立时成立；不独立要加协方差（高考不要求，但心里要有数）。
⑦ 考点与真题演练
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 选择/填空 | 给分布列求 E、D 或参数 | 用 Σp=1 + 加权平均 |
| 解答题 | 由实际问题写分布列再求期望 | 先列全取值，再算概率 |
| 决策题 | 两个方案比期望和方差 | 期望看平均，方差看稳定 |
真题风格演练（点击选项即时判断）
真题风格·选择X 分布列：X:1,2,3；P:0.2,0.3,0.5。则 E(X)=？
真题风格·填空X:0,1；P:0.4,0.6。则 D(X)=？
真题风格·解答随机变量 X 满足 E(X)=2，D(X)=3，则 E(2X+1)=？
考场提分提醒决策问题：两个游戏方案，期望相同时期望大的更划算；期望接近时方差小的更稳定。考试写分布列时务必把 P 那一行加起来等于 1，否则后面全错。
⑧ 必背公式卡
1. 分布列两行表：上排取值，下排概率；pᵢ≥0 且 Σpᵢ=1。
2. E(X)=Σxᵢpᵢ（加权平均）。
3. D(X)=E(X²)−[E(X)]²（波动）。
4. E(aX+b)=aE(X)+b；D(aX+b)=a²D(X)。
5. 独立时 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
6. 标准差 σ=√D(X)，和 X 同量纲。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述训练
练习 A：说 E(X) 为什么叫"加权平均"——每个取值乘以它出现的概率再加权。
练习 B：说 D(X) 为 0 意味着什么——X 永远取同一个值，毫无波动。
练习 C（决策）：两个抽奖游戏，A 期望 10 方差 1；B 期望 10 方差 50。你选哪个？答：同样期望，A 更稳，选 A。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1X:1,2；P:0.4,0.6，求 E(X)。
1×0.4+2×0.6=0.4+1.2=1.6。
基础2X:0,1；P:0.5,0.5，求 E(X)。
0×0.5+1×0.5=0.5。
基础3分布列 X:1,2,3；P:a,a,a，求 a。
3a=1 → a=1/3。
基础4X 服从 E(X)=3，求 E(2X)。
2×E(X)=6。
基础5D(X)=4，求 D(3X)。
3²×4=36。
基础6D(X)=4，求 D(X+5)。
平移不变=4。
中档7X:−1,0,1；P:0.2,0.6,0.2，求 E(X)。
−0.2+0+0.2=0（对称分布）。
中档8上题求 D(X)。
E(X²)=1×0.2+0+1×0.2=0.4；D=0.4−0=0.4。
中档9X:1,2,3；P:0.2,0.3,0.5，求 E(X²)。
1×0.2+4×0.3+9×0.5=0.2+1.2+4.5=5.9。
中档10E(X)=2，E(X²)=9，求 D(X)。
D=9−4=5。
中档11X 独立于 Y，E(X)=1,E(Y)=2,D(X)=3,D(Y)=4，求 E(X+Y) 与 D(X+Y)。
E=3；D=3+4=7。
中档12X:0,10；P:0.8,0.2，求 D(X)。
E=2；E(X²)=0+100×0.2=20；D=20−4=16。
拔高13一次投篮命中率 0.8，投 1 次得分为命中得 2 分、不中得 0 分。求得分 X 的分布列、E(X)、D(X)。
X:0,2；P:0.2,0.8。E=1.6；E(X²)=0+4×0.8=3.2；D=3.2−2.56=0.64。
拔高14抽奖：10 张券中 1 张奖 100 元，其余 0 元。买一张收益 X 的期望？若花 20 元买，净收益期望？
E(收益)=100×0.1=10 元。净收益=10−20=−10 元（期望亏本）。
拔高15X 的分布列 X:0,1,2,3；P:0.1,0.3,0.4,0.2。求 E(X) 和 D(X)。
E=0+0.3+0.8+0.6=1.7。E(X²)=0+0.3+1.6+1.8=3.7。D=3.7−2.89=0.81。
拔高16X 分布列 P(X=k)=c·k (k=1,2,3)，求 c 与 E(X)。
c(1+2+3)=1→c=1/6。E=(1·1+2·2+3·3)/6=14/6=7/3。
拔高17X~两点分布 P(X=1)=p，求 D(X)。
E=p，E(X²)=p，D=p−p²=p(1−p)。
拔高18X 取值 −1,0,1 概率各 1/3，求 D(X)。
E=0，E(X²)=2/3，D=2/3。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 分布列两行表，概率非负和为一。
② 期望加权平均 E=Σxp，方差 E(X²) 减 E 平方。
③ 期望线性平移，方差只随缩放平方变。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 读③④ + 背 E/D 公式 | 默写两个公式 |
| 第2天 | 做基础1-6 | 6题全对 |
| 第3天 | 做中档7-12 | D=E(X²)−E² 用熟 |
| 第4天 | 做拔高13-15 | 会自己写分布列 |
| 第5天 | 做⑦真题3题 | 全对 |
| 第6-7天 | 口述一道决策题（比期望方差） | 能说清选谁为什么 |