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错位相减求和：等差×等比的克星
求 1·2 + 2·4 + 3·8 + ... + n·2ⁿ？通项是等差×等比（n × 2ⁿ），不能直接套公式。错位相减是高考数列大题第二问的另一大神器——把和式乘公比后错开一位相减，中间变成等比数列。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
理解为什么乘 q 后要错开一位。
2练（20 分钟）
跟着例题做 2 道标准错位相减。
3对（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练最后化简。
4默（10 分钟）
背错位相减四步流程。
第一课小目标① 识别等差×等比通项；② 完成错位相减四步；③ 最后化简不出错。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
错位相减
→
识别
an=(等差)×(等比)
n·2ⁿ
(2n−1)·3ⁿ
→
→
→
③ 先认识它：：乘 q 后错开一位
适用：通项 an = (等差) × (等比)，如 n·2ⁿ、(2n+1)·3ⁿ⁻¹。
四步：① 写出 Sn；② 两边乘公比 q；③ 错开一位相减；④ 中间是等比数列，用公式求和，最后化简。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1（标准）：求 Sn = 1·2 + 2·4 + 3·8 + ... + n·2ⁿ。
解：① Sn = 1·2 + 2·4 + ... + n·2ⁿ；② 2Sn = 1·4 + 2·8 + ... + n·2ⁿ⁺¹；③ ①−②：−Sn = 2 + 4 + 8 + ... + 2ⁿ − n·2ⁿ⁺¹。中间等比和 = 2(2ⁿ−1)/(2−1) = 2ⁿ⁺¹−2。−Sn = 2ⁿ⁺¹−2 − n·2ⁿ⁺¹ = (1−n)2ⁿ⁺¹−2。Sn = (n−1)·2ⁿ⁺¹ + 2。
例2（带系数）：求 Sn = 1·1 + 3·2 + 5·4 + ... + (2n−1)·2ⁿ⁻¹。
解：① Sn = 1 + 3·2 + 5·4 + ... + (2n−1)·2ⁿ⁻¹；② 2Sn = 1·2 + 3·4 + ... + (2n−1)·2ⁿ；③ ①−②：−Sn = 1 + 2·2 + 2·4 + ... + 2·2ⁿ⁻¹ − (2n−1)·2ⁿ。中间 = 2(2+4+...+2ⁿ⁻¹)=2·(2ⁿ−2)=2ⁿ⁺¹−4。−Sn = 1 + 2ⁿ⁺¹−4 −(2n−1)2ⁿ = (3−2n)2ⁿ−3。Sn = (2n−3)·2ⁿ + 3。
例3（q=1/2）：求 Sn = 1 + 2/2 + 3/4 + ... + n/2ⁿ⁻¹。
解：① Sn = 1 + 2/2 + 3/4 + ... + n/2ⁿ⁻¹；② ½Sn = 1/2 + 2/4 + ... + (n−1)/2ⁿ⁻¹ + n/2ⁿ；③ ①−②：½Sn = 1+1/2+1/4+...+1/2ⁿ⁻¹ − n/2ⁿ = 2(1−1/2ⁿ) − n/2ⁿ。Sn = 4 − (n+2)/2ⁿ⁻¹。
高考考法数列大题第二问，第一问求出 an = (等差)(等比)，第二问错位相减求和。必考题。
⑥ 高频错误诊断
错误 1乘 q 后不错开，直接对齐相减
✗ → ✓ qSn 向右错一位
对齐了就抵消不掉中间项。
错误 2中间等比数列数 n 项
✗ → ✓ 中间是 n−1 项（或 n 项，看情况）
写前几项数一下。
错误 3最后忘除以 (1−q)
✗ → ✓ 两边除以 (1−q)
(1−q)Sn = ...，Sn 还要除过去。
错误 4符号写反（用 ②−① 而非 ①−②）
✗ → ✓ 用 ①−②
①−② 得 (1−q)Sn，方便。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. Sn = 1·2 + 2·4 + ... + n·2ⁿ，则 Sn = ？
解析：错位相减得 (n−1)2ⁿ⁺¹+2。
2. 错位相减适用的通项是？
解析：等差×等比型用错位相减；分式乘积用裂项。
3. Sn = Σ k·3^k，乘 q=3 后错开一位，中间等比有几项？
解析：Sn 有 n 项，3Sn 有 n 项，错开后重叠 n−1 项。
⑧ 必背公式卡
适用：an = (等差)×(等比)。
四步：写 Sn → 乘 q → 错开减 → 化简。
乘 q 后 qSn 向右错一位。
中间重叠部分是等比数列（n−1 项）。
最后两边除以 (1−q)。
相减用 ①−②，得 (1−q)Sn。
写前几项数清楚项数，别多别少。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"错位相减四步：① 写 Sn 展开；② 两边乘公比 q；③ qSn 错开一位，用 ①−②；④ 中间等比求和，两边除 (1−q) 化简。"
口述题
口头说 1·1 + 2·2 + 3·4 + ... + n·2ⁿ⁻¹ 的求法。
参考答案：Sn = 1+2·2+3·4+...+n·2ⁿ⁻¹。2Sn = 1·2+2·4+...+n·2ⁿ。①−②：−Sn = 1+2+4+...+2ⁿ⁻¹ − n·2ⁿ = (2ⁿ−1)−n·2ⁿ。Sn = (n−1)2ⁿ+1。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1错位相减适用什么通项？
等差×等比型。
基础2Sn = Σ k·2^k，乘 q=?
q = 2。
基础3①−② 后左边是 (1−q) 乘谁？
= (1−q)Sn。
基础5Sn = Σ k·3^k，最后两边除以 ?
除以 (1−3) = −2。
中档7求 Sn = 1·1 + 2·2 + 3·4 + ... + n·2ⁿ⁻¹。
错位相减：Sn = (n−1)2ⁿ + 1。
中档8求 Sn = 1·3 + 2·9 + ... + n·3ⁿ。
Sn = [3−(2n−1)3ⁿ⁺¹]/4。
中档9求 Sn = 1·2 + 2·2² + ... + n·2ⁿ。
Sn = (n−1)2ⁿ⁺¹ + 2。
中档10求 Sn = 1 + 2·(−1) + 3·1 + ...（q=−1）。
交错级数，错位相减：Sn = [1−(−1)ⁿ(2n+1)]/4。
中档11求 Sn = 1·2 + 3·2² + 5·2³ + ... + (2n−1)·2ⁿ。
Sn = (2n−3)2ⁿ⁺¹ + 6。
中档12求 Sn = Σ k·(1/2)^k。
Sn = 2 − (n+2)/2ⁿ。
拔高13求和 1·1/2 + 2·1/4 + 3·1/8 + ... + n/2ⁿ。
Sn = 2 − (n+2)/2ⁿ。
拔高14数列 an=n·2ⁿ⁻¹，求前 n 项和。
Sn=(n−1)2ⁿ+1。
拔高15求和 Σ(k=1..n) (2k−1)·2^k。
Sn=(2n−3)2ⁿ⁺¹+6。
拔高16求和 1·3 + 2·3² + ... + n·3ⁿ。
Sn=[3−(2n−1)3ⁿ⁺¹]/4。
拔高17求和 1·2 + 4·2² + 7·2³ + ... + (3n−2)·2ⁿ。
Sn=(3n−5)2ⁿ⁺¹+10。
拔高18数列 an=(2n+1)·2ⁿ，求 Sn。
Sn=(2n−1)2ⁿ⁺¹+2。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀
① 等差乘等比，错位相减起。
② 乘 q 错开一位，①−② 中间等比。
③ 最后除 (1−q)，化简要仔细。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 读③④部分 + 跟着做例1 | 四步流程熟 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 项数数对 |
| 第 4 天 | 默写四步流程 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天做 1 道错位相减 | 零失误 |