知识点深化 · 导数 · 小白第一课
求导法则：把任何函数拆成基本块来导
f(x)=(2x+1)³ 的导数是什么？不用定义死算，记住几条公式和法则就行。这一页把常函数、幂函数、指数对数导数，以及加减乘除、复合函数链式法则一次给全。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 60 分钟，拆成 4 步，一步都别跳：
1读（15分钟）
读③④：8 个基本导数公式 + 四则 + 链式法则。
2背（15分钟）
做⑤：背熟幂函数、指数、对数导数。
3练（15分钟）
做⑩：练复合函数求导。
4说（15分钟）
做⑨：口述链式法则"由外到内"。
第一课小目标学完要能：① 背 8 个基本导数；② 用四则法则；③ 用链式法则求复合函数。
② 一图看懂全课（思维导图）
读法：从中心节点出发，按五大分支走，每支下的小节点全记住就通关。
③ 先认识它
一句话：求导就是套公式：基本函数背公式，复杂函数用四则和链式法则拆成小块逐块求。
商法则顺序别反(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²，分子是"上导下不导 − 上不导下导"，反了就差个负号。
④ 完整公式 / 体系表
基本求导公式（必背）
(c)′=0 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ (eˣ)′=eˣ (aˣ)′=aˣlna
(lnx)′=1/x (sinx)′=cosx (cosx)′=−sinx
| 法则 | 公式 |
|---|
| 加减 | (u±v)′=u′±v′ |
| 数乘 | (cu)′=cu′ |
| 乘法 | (uv)′=u′v+uv′ |
| 除法 | (u/v)′=(u′v−uv′)/v² |
| 链式 | f(g(x))′=f′(g(x))·g′(x) |
高频复合结果(ax+b)ⁿ′=n(ax+b)ⁿ⁻¹·a；e^{ax}′=a·e^{ax}；ln(ax+b)′=a/(ax+b)。内层导数永远别漏乘。
⑤ 用法场景与典型例题
| 函数 | 导数 |
|---|
| (x²+1)³ | 3(x²+1)²·2x=6x(x²+1)² |
| e^{2x} | 2e^{2x} |
| x·lnx | lnx+1 |
例：f(x)=(2x+1)³
解：外层 u³ 导成 3u²，内层 2x+1 导成 2。f′=3(2x+1)²·2=6(2x+1)²。
⑥ 高频错误诊断
错误1：链式漏乘内层导数
(2x+1)³ 写成 3(2x+1)²，漏了乘 2。每剥一层都要乘内层导数。
错误2：商法则分子反了
(u/v)′ 写成 (uv′−u′v)/v²，符号反了。口诀"上导下减下导上"。
错误3：(eˣ)′ 写成 eˣ·ln e
eˣ 导数就是 eˣ，不用乘 ln e（=1）。aˣ 才乘 lna。
错误4：(lnx)′ 写成 1/x 漏定义域
(lnx)′=1/x，x>0。
错误5：乘法法则只会 u′v
(uv)′ 是 u′v+uv′ 两项，别漏第二项。
⑦ 考点与真题演练
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 选择/填空 | 给函数求导 | 套公式+链式 |
| 解答题 | 复杂函数求导 | 拆四则+复合 |
| 切线题 | 先求导再代点 | 求导是第一步 |
真题风格演练（点击选项即时判断）
真题风格·填空f(x)=e^{3x}，f′(x)=？
真题风格·解答f(x)=(x²+1)²，f′(1)=？
考场提分提醒求导题按"先四则、后链式"顺序：整体看是加减乘除哪一种，用对应法则；遇到复合立刻剥洋葱。每步默念"内层导了没"。
⑧ 必背公式卡
1. (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹；(eˣ)′=eˣ；(lnx)′=1/x。
2. (uv)′=u′v+uv′。
3. (u/v)′=(u′v−uv′)/v²。
4. 链式：f(g)′=f′(g)·g′。
5. (ax+b)ⁿ′=n(ax+b)ⁿ⁻¹·a。
6. (e^{ax})′=a·e^{ax}。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述训练
练习 A：说链式法则为什么叫"剥皮"——一层一层往外求导。
练习 B：说为什么 (uv)′ 不是 u′v′。
练习 C（建模）：对 f(x)=x·e^x 求导用乘法法则。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础6(x·x)′=?。
2x（乘法法则）。
中档7(x²·sinx)′=?。
2x·sinx+x²·cosx。
中档8((x+1)²)′=?。
2(x+1)·1=2(x+1)。
中档9(e^{2x})′=?。
2e^{2x}。
中档10(ln(3x))′=?。
3/(3x)=1/x。
中档11(x²/x)′=x′=?。
1（先化简再导）。
中档12((2x−1)³)′=?。
3(2x−1)²·2=6(2x−1)²。
拔高13f(x)=x·e^x，f′(x)=?。
e^x+x e^x=e^x(1+x)。
拔高14f(x)=ln(x²+1)，f′(x)=?。
2x/(x²+1)。
拔高15f(x)=(x²+1)/x，f′(x)=?。
先化简 x+1/x → 1−1/x²。或商法则：(2x·x−(x²+1))/x²=(x²−1)/x²=1−1/x²。
拔高16f(x)=sinx·cosx，f′(x)=?。
cos²x−sin²x=cos2x。
拔高17f(x)=e^x·sinx，f′(x)=?。
e^x sinx+e^x cosx=e^x(sinx+cosx)。
拔高18f(x)=√x，f′(x)=?。
x^{1/2}→(1/2)x^{−1/2}=1/(2√x)。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 幂指对三角八个公式，先背到条件反射。
② 加减逐项乘分配，乘积两项商有别。
③ 复合链式由外到内，内层导数别漏掉。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 读③④ + 背8公式 | 默写基本导数表 |
| 第2天 | 做基础1-6 | 6题全对 |
| 第3天 | 做中档7-12 | 链式用熟 |
| 第4天 | 做拔高13-15 | 会综合求导 |
| 第5天 | 做⑦真题3题 | 全对 |
| 第6-7天 | 每天盲背导数表 | 不看表能写 |