知识点深化 · 导数 · 小白第一课
导数看单调性：f′>0 上升，f′<0 下降
怎么一眼看出一个函数在哪个区间上升、哪个区间下降？不用描点画图——看导数正负就行。f′(x)>0 函数递增，f′(x)<0 函数递减。这一页把"求单调区间"标准化成三步。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 60 分钟，拆成 4 步，一步都别跳：
1读（15分钟）
读③④：f′正负与单调的关系、解不等式。
2算（15分钟）
做⑤：求导、解 f′>0 和 f′<0。
3练（15分钟）
做⑩：写单调区间。
4说（15分钟）
做⑨：口述为什么导数正就递增。
第一课小目标学完要能：① 求导；② 解 f′>0 / f′<0；③ 写出单调递增/递减区间。
② 一图看懂全课（思维导图）
读法：从中心节点出发，按五大分支走，每支下的小节点全记住就通关。
③ 先认识它
一句话：导数的正负号就是函数的"上升下降开关"。f′(x)>0 区间函数递增，f′(x)<0 区间递减，f′(x)=0 是分界点。
定义域优先求单调区间必须先在定义域内讨论。如 ln x 只能在 x>0 上谈单调。
④ 完整公式 / 体系表
判据（必背）
f′(x) > 0 ⇒ f(x) 在该区间单调递增
f′(x) < 0 ⇒ f(x) 在该区间单调递减
f′(x) = 0 的点是驻点（单调可能转变处）
| 步骤 | 操作 |
|---|
| 1 求导 | f′(x)，因式分解 |
| 2 求驻点 | f′(x)=0 的根 |
| 3 列表 | 根把定义域分成区间，判 f′ 符号 |
| 4 写结论 | 增区间、减区间 |
区间用逗号，不用"并"单调区间是几个独立区间，不能写成 (a,b)∪(c,d)，要用逗号或"和"连接。
⑤ 用法场景与典型例题
| 函数 | 单调区间 |
|---|
| f(x)=x² | (−∞,0) 减，(0,+∞) 增 |
| f(x)=x³ | 在 ℝ 上递增 |
例：f(x)=x²−4x+3
解：f′=2x−4=2(x−2)。x<2 时 f′<0 递减；x>2 时 f′>0 递增。减区间 (−∞,2)，增区间 (2,+∞)。
⑥ 高频错误诊断
错误1：不考虑定义域
ln x、1/x 等函数先定定义域再谈单调。
错误2：区间用"并"连接
两个分开的减区间不能写 ∪，写"和"。
错误3：f′≥0 就说严格递增
个别点 f′=0 不影响单调，但要注意 f′≡0 是常函数。
错误4：驻点就是极值点
f′=0 只是可疑点，是否极值要看两侧符号变化。
错误5：解不等式出错
f′ 因式分解后符号表画错。
⑦ 考点与真题演练
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 选择/填空 | 给函数写单调区间 | 求导解不等式 |
| 解答题 | 含参函数单调讨论 | 分类讨论 f′ 符号 |
| 证明题 | 证单调性 | 证 f′ 恒正/恒负 |
真题风格演练（点击选项即时判断）
真题风格·选择f(x)=x² 的单调递减区间是？
真题风格·填空f(x)=x³ 的单调性是？
真题风格·解答f′(x)>0 在区间 (a,b) 内成立，则 f(x) 在 (a,b)？
考场提分提醒求单调区间标准流程：求导→因式分解→求根→画符号表→写区间。含参时按判别式/根的大小分类。
⑧ 必背公式卡
1. f′>0 递增，f′<0 递减。
2. f′=0 是驻点。
3. 先定定义域，再谈单调。
4. 区间用逗号，不用并集。
5. 求导→求根→列表→写区间。
6. 含参按 f′ 根分类讨论。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述训练
练习 A：说为什么 f′>0 函数递增——切线斜率正，函数随 x 增大而上升。
练习 B：说 f(x)=x³ 在 x=0 处 f′=0，为什么还单调递增——除一点外 f′>0。
练习 C（建模）：速度为正，位移函数递增；速度为负，位移递减。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1f(x)=2x+1 的单调性？
f′=2>0，递增。
基础2f(x)=−x 的单调性？
f′=−1<0，递减。
基础3f(x)=x² 增区间？
(0,+∞)。
基础4f′(x)>0 说明函数？
递增。
中档7f(x)=x²−2x 的单调区间。
f′=2x−2=2(x−1)。减(−∞,1)，增(1,+∞)。
中档8f(x)=x³−3x 的增区间。
f′=3x²−3=3(x−1)(x+1)。增区间 (−∞,−1) 和 (1,+∞)。
中档9f(x)=eˣ 的单调性？
f′=eˣ>0，ℝ 上递增。
中档10f(x)=lnx 的单调性？
定义域 x>0，f′=1/x>0，(0,+∞) 递增。
中档11f(x)=1/x 的单调区间。
定义域 x≠0。f′=−1/x²<0，(−∞,0) 和 (0,+∞) 分别递减。
中档12f(x)=x³−12x 的减区间。
f′=3x²−12=3(x−2)(x+2)。减区间 (−2,2)。
拔高13讨论 f(x)=x³−ax 的单调性。
f′=3x²−a。a≤0 时 ℝ 递增；a>0 时减(−√(a/3),√(a/3))，增区间两侧。
拔高14f(x)=x−lnx 的单调区间。
定义域 x>0。f′=1−1/x=(x−1)/x。减(0,1)，增(1,+∞)。
拔高15证明 f(x)=eˣ−x−1 在 x>0 时递增。
f′=eˣ−1，x>0 时 eˣ>1，f′>0，故递增。
拔高16f(x)=x−sinx 的单调性。
f′=1−cosx≥0（仅孤立点=0），ℝ上递增。
拔高17f(x)=x·lnx 的减区间。
定义域x>0，f′=lnx+1<0→x<1/e，减区间 (0,1/e)。
拔高18f(x)=e^x−x 的单调区间。
f′=e^x−1，减(−∞,0)，增(0,+∞)。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 导数正负看升降，正增负减零驻点。
② 求导因式解不等式，画表写区间。
③ 定义域要先考虑，区间分开不用并。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 读③④ + 记判据 | 默写 f′ 正负意义 |
| 第2天 | 做基础1-6 | 6题全对 |
| 第3天 | 做中档7-12 | 会写单调区间 |
| 第4天 | 做拔高13-15 | 会含参讨论 |
| 第5天 | 做⑦真题3题 | 全对 |
| 第6-7天 | 口述一道含参单调讨论 | 分类不漏 |