知识点深化 · 导数 · 小白第一课
导数压轴：恒成立、零点问题、不等式证明三板斧
高考导数压轴长什么样？三类经典问题：①恒成立求参数范围；②讨论零点个数；③证明不等式。它们都靠"求导→研究单调极值→数形结合"这一招打通。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 60 分钟，拆成 4 步，一步都别跳：
1读（20分钟）
读③④：三类综合题型套路。
2拆（20分钟）
做⑤：把恒成立/零点/不等式转成最值问题。
3练（20分钟）
做⑩：压轴题步骤拆解。
4说（15分钟）
做⑨：口述"恒成立→最值"转化。
第一课小目标学完要能：① 把恒成立化为 f(x)最值；② 用单调性+极值判零点个数；③ 构造函数证不等式。
② 一图看懂全课（思维导图）
读法：从中心节点出发，按五大分支走，每支下的小节点全记住就通关。
③ 先认识它
一句话：导数压轴题本质都是"研究函数的最值和图像"。恒成立看最值，零点看单调+端点，不等式靠构造新函数。
恒成立 vs 能成立，方向相反∀x f(x)≥a 恒成立 ⇔ f(x)min≥a；∃x f(x)≥a 能成立 ⇔ f(x)max≥a。"恒"看最值同向，"能"看最值反向。
④ 完整公式 / 体系表
三大转化（必背）
f(x)≥a 对 ∀x∈D 恒成立 ⇔ f(x)min ≥ a
f(x)≤a 对 ∀x∈D 恒成立 ⇔ f(x)max ≤ a
证 f(x)≥g(x)：构造 h(x)=f(x)−g(x)，证 h(x)min≥0
零点个数：分析单调区间 + 端点（极限）符号变化
| 问题 | 转化 |
|---|
| 恒成立 | 求 f 的最值 |
| 能成立(有解) | 求 f 的最值 |
| 零点个数 | 单调区间内看极值正负 |
| 不等式证明 | 作差构造 h(x) 证号 |
分离参数法a≤f(x) 恒成立，若能分离成 a≤g(x)，则 a≤g(x)min。分离后只研究一个新函数，避免讨论参数。
⑤ 用法场景与典型例题
| 题型 | 第一步 |
|---|
| 恒成立求参 | 分离参数或求 f_min |
| 零点讨论 | 求 f′，画单调极值表 |
| 证不等式 | 作差构造 h(x) |
例：证明 x≥0 时 eˣ ≥ 1+x
解：令 h(x)=eˣ−1−x。h′=eˣ−1。x≥0 时 h′≥0，h 递增。h(0)=0，故 h(x)≥0。得证 eˣ≥1+x。
⑥ 高频错误诊断
错误1：恒成立方向搞反
f(x)≥a 恒成立是 f_min≥a，不是 f_max。口诀"大于恒成立看最小"。
错误2：证不等式不构造函数
硬放缩失败，标准做法是作差构造 h(x) 求最小。
错误3：零点讨论不看端点极限
函数在区间端点趋向 ±∞ 也要算，否则漏交点。
错误4：分离参数忘讨论
分离后分母符号要讨论，不等号方向会变。
错误5：求导后不画单调表
压轴题必须画 f′ 符号表，否则说不清。
⑦ 考点与真题演练
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 压轴第(1)问 | 求单调/极值 | 求导列表 |
| 压轴第(2)问 | 恒成立求参 | 分离参数/最值 |
| 压轴第(3)问 | 证不等式/零点 | 构造函数 |
真题风格演练（点击选项即时判断）
真题风格·压轴f(x)≥a 对所有 x 恒成立，则？
真题风格·压轴证 eˣ≥1+x 应构造？
真题风格·压轴讨论零点个数要分析？
考场提分提醒压轴题固定三步：①求导画单调表；②把问题翻译成"最值/交点/新函数符号"；③写结论。第(1)问通常送分求单调，第(2)(3)问靠它打底。
⑧ 必背公式卡
1. f(x)≥a 恒成立 ⇔ f(x)min≥a。
2. f(x)≤a 恒成立 ⇔ f(x)max≤a。
3. 证不等式：作差构造 h(x)，证 h_min≥0。
4. 零点：单调区间 + 极值正负 + 端点极限。
5. 能成立看 f_max（有解）。
6. 压轴先求导画表。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述训练
练习 A：说"恒成立"为什么转化为最值——要对每个 x 都成立，最差点必须过关。
练习 B：说证 eˣ≥1+x 时 h(0)=0 为什么关键——最小值在 0 取到。
练习 C（建模）：利润恒大于成本，等价于最小利润仍覆盖成本。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1f(x)≥a 恒成立转化为？
f(x)min≥a。
基础2证不等式常用什么法？
作差构造 h(x)。
基础3f(x)≤a 恒成立转化为？
f(x)max≤a。
基础4讨论零点先分析什么？
单调性和极值。
基础5能成立(有解) f(x)≥a 转化为？
f(x)max≥a。
基础6压轴第一步通常是？
求导画单调表。
中档7证明 x≥0 时 x≥sinx。
h=x−sinx，h′=1−cosx≥0，h 递增，h(0)=0，故 h≥0。
中档8f(x)=x²−2x+a≥0 恒成立，求 a。
f_min=f(1)=a−1≥0 → a≥1。
中档9f(x)=x−lnx 的最小值。
f′=1−1/x=0→x=1，f(1)=1，min=1。
中档10证 x≥0 时 eˣ≥1+x+x²/2（提示构造）。
h=eˣ−1−x−x²/2，h′=eˣ−1−x，由例知 h′≥0，h(0)=0，故 h≥0。
中档11f(x)=x³−3x+a 有三个零点的条件。
极大值 f(−1)=a+2>0 且极小值 f(1)=a−2<0 → −2<a<2。
中档12f(x)=x²−a≥0 对 x∈[1,2] 恒成立。
f_min=f(1)=1−a≥0 → a≤1。
拔高13证 ln(x+1)≤x（x≥0）。
h=x−ln(x+1)，h′=1−1/(x+1)=x/(x+1)≥0，h(0)=0，故 h≥0。
拔高14f(x)=x ln x ≥ a 在 (0,+∞) 恒成立，求 a 最大值。
f′=lnx+1=0→x=1/e，f(1/e)=−1/e。a≤−1/e，a_max=−1/e。
拔高15讨论 f(x)=x³−3x+a 零点个数。
极大 a+2，极小 a−2。a>2 一个；a=2 两个；−2<a<2 三个；a=−2 两个；a<−2 一个。
拔高16证 x≥0 时 ln(x+1)≥x/(1+x)。
h=ln(x+1)−x/(1+x)，h′=1/(x+1)−1/(x+1)²=x/(x+1)²≥0，h(0)=0，得证。
拔高17f(x)=x²−2ax+1≥0 在 x∈[1,2] 恒成立，求 a。
对称轴x=a。a≤1: f(1)=2−2a≥0→a≤1；a≥2: f(2)=5−4a≥0→a≤5/4舍；1<a<2: f(a)=1−a²≥0→a≤1舍。故 a≤1。
拔高18f(x)=x³−3x−a 有唯一零点，求 a 范围。
极大f(−1)=2−a，极小f(1)=−2−a。唯一零点需2−a<0或−2−a>0→a>2或a<−2。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 恒成立看最值，大于最小小于最大。
② 证不等式作差构造，最小值要大于零。
③ 零点个数看单调，极值正负定交点。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 读③④ + 记三大转化 | 默写恒成立转化 |
| 第2天 | 做基础1-6 | 6题全对 |
| 第3天 | 做中档7-12 | 会恒成立求参 |
| 第4天 | 做拔高13-15 | 会零点讨论 |
| 第5天 | 做⑦真题3题 | 全对 |
| 第6-7天 | 口述一道压轴全流程 | 求导→最值→结论 |