知识点深化 · 数系扩充 · 复数四则运算
复数四则运算：共轭、模与运算律
负数开平方不再无解——i²=−1 把数系从实数扩到复数 z=a+bi。这一站掌握复数的加减乘除、共轭复数、模 |z|。高考必考一道选择填空，记住 i 的周期性（iⁿ 四个一循环）几乎白送分。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1认（10 分钟）
看第③：实部 a、虚部 b、i。
2算（25 分钟）
练第⑥⑩：乘除、共轭、模。
3背（15 分钟）
背第⑧：iⁿ 周期、模公式。
4对（10 分钟）
做真题自测 3 题。
小目标① 会做复数乘除；② 会求共轭和模；③ 记住 i 的幂周期。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
③ 先认识它：z=a+bi，i²=−1
复数 z = a + bi，a 是实部，b 是虚部，i 叫虚数单位，i² = −1。b=0 时是实数；a=0 且 b≠0 时是纯虚数。
i 的幂四个一循环i¹=i，i²=−1，i³=−i，i⁴=1，i⁵=i……求 iⁿ 用 n 除以 4 看余数：余 1→i，余 2→−1，余 3→−i，整除→1。
⑤ 用法场景与典型例题
例：计算 (1+2i)(3−i)。
=3−i+6i−2i²=3+5i+2=5+5i。
例：求 (1+i)/(1−i)。分子分母同乘 (1+i)：(1+i)²/((1−i)(1+i))=2i/2=i。
除法必乘共轭分母是 c+di 时，分子分母同乘 c−di，分母变 c²+d²（实数）。
易错再提醒① i²=−1 不是 1；② 除法先乘共轭；③ 模是 √(a²+b²) 不是 a+b；④ i 的幂除 4 取余。复数题不难，但每年都有人算错符号，算完代回检查一遍实部虚部。
典型真题精练
题：z=(2+i)/(1−i)，求 |z|。
解：|z|=|2+i|/|1−i|=√5/√2=√10/2。
再练：z=1+i，z²+1/z=2i+(1−i)/2=1/2+3i/2。
高考怎么考
考情复数每年一道选择或填空，5 分。考点集中在：乘除化简、共轭、模、i 的幂、纯虚数条件。难度低，务必拿满。常见陷阱：i² 符号、除法忘乘共轭、模用 a+b 而不是 √(a²+b²)。
再练：i+i²+i³+i⁴ = i−1−i+1=0。相邻四次幂和为 0，是个小结论。
⑥ 高频错误诊断
错误 1i² 算成 1
✗ → ✓ i²=1
i²=−1。
错误 2除法忘乘共轭
✗ → ✓ 直接约
分子分母同乘分母共轭。
错误 3模算成 a+b
✗ → ✓ |z|=a+b
|z|=√(a²+b²)。
错误 4i 幂周期错
✗ → ✓ i³=1
i³=−i，i⁴=1。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 乘除运算 | 给算式求结果 | 按法则展开，i²=−1 |
| 共轭/模 | 求 z̄ 或 |z| | a−bi，√(a²+b²) |
| i 的幂 | iⁿ 化简 | 除 4 看余数 |
真题风格演练
真题风格自测（点击选项即时判断）
1. 复数 (1+i)² = ？
2. 复数 z=3+4i 的模 |z|=？
考场提醒复数题套路固定：乘除展开→i² 换 −1→合并实虚部。先把除法分母实数化。i 的幂用「除 4 取余」。
⑧ 必背公式卡
方法总结：复数运算流程① 乘除按多项式展开，i² 一律换 −1；② 除法先乘分母共轭实数化；③ 求模用 |z|=√(a²+b²)，求共轭把 b 变号。i 的高次幂先除 4 看余数，别硬乘。本知识点在高考中固定一道选择/填空，务必全对。
定义：z=a+bi，i²=−1。
共轭：z̄=a−bi。
模：|z|=√(a²+b²)。
i 周期：i,−1,−i,1 循环。
(1+i)²=2i。
知识脉络数系从实数扩到复数，i²=−1 是关键。加减乘除按多项式算，除法乘共轭实数化。共轭与模是两个常用工具：z·z̄=|z|²。i 的幂四个一循环，是选择题送分点。
再练：若 (a+i)(1−i)=3+bi，求 a,b。展开 (a+1)+(1−a)i=3+bi，故 a+1=3→a=2，b=1−a=−1。
本节小结复数三句话：i²=−1、除法乘共轭、模长勾股求。再练：(3+2i)(3−2i)=9+4=13=|3+2i|²。
再练：已知 z 共轭 z̄=2−3i，求 z 及 |z|。z=2+3i，|z|=√13。
一句话总结复数运算不怕，i² 换负一，除法乘共轭，模长勾股求。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述：为什么要引进复数？因为 x²+1=0 在实数里无解，引入 i²=−1 后，任何二次方程都有根。复数让代数基本定理成立。
口算训练：快速说 i⁷=i³=−i；i⁸=1。
延伸：复数与实数运算的异同复数加法、乘法满足交换律、结合律、分配律，和实数一样；但复数不能比较大小（没有大小关系），模可以。z·z̄=|z|² 是复数里最有用的恒等式，化分母实数化、求模都靠它。高考复数题每年一道，属于必须拿满分的送分题。
易错提醒i²=−1；除法乘共轭；模用勾股；共轭改虚部符号。i 的高次幂除 4 取余，别硬乘。
把本节公式卡和错题各读一遍，明天再默写一次。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
中档7(2+i)+(3−2i)=？
5−i。
拔高13(2+i)/(1−i)=？
乘 (1+i)：(2+i)(1+i)/2=(1+3i)/2。
拔高15z+z̄=6，求实部 a。
2a=6→a=3。
拔高16为什么除法要乘共轭？
使分母变为实数 |分母|²。
拔高17纯虚数条件？
实部 a=0 且 b≠0。
拔高18z·z̄=？
|z|²=a²+b²。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
口诀复数 a 加 b i，i 方等于负一；共轭虚部反号，模长勾股求斜；i 的幂次四季循环。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 读全页 + 背公式卡 | 能默写核心公式 |
| 第 2 天 | 做基础 1–6 | 全对即可 |
| 第 3 天 | 做中档 7–12 + 错题回看 | 错题重做全对 |
| 第 4 天 | 做拔高 13–18 | 能口述解题步骤 |
| 第 5 天 | 重做错题 + 真题自测 3 题 | 选择题全对 |
| 第 6 天 | 合上书默画思维导图 | 11 块不遗漏 |
| 第 7 天 | 给同学讲一遍本知识 | 讲清楚 = 真会 |