③ 先认识它：：两个公式判关系
设 a=(x₁,y₁), b=(x₂,y₂)（b≠0）：
别记混！共线是交叉相乘（x₁y₂=x₂y₁），垂直是对应相乘相加（x₁x₂+y₁y₂=0）。共线对应"叉积为零"，垂直对应"点积为零"。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1（判共线）：a=(2,3), b=(4,6)，判断是否共线。
解：x₁y₂−x₂y₁ = 2·6−4·3 = 12−12 = 0。a∥b，共线（b=2a）。
例2（判垂直）：a=(1,2), b=(2,−1)，判断是否垂直。
解：a·b = 1·2+2·(−1) = 2−2 = 0。a⊥b，垂直。
例3（求参数共线）：a=(2,3), b=(4,k)，a∥b，求 k。
解：2·k − 4·3 = 0 ⇒ 2k=12 ⇒ k=6。
例4（求参数垂直）：a=(1,2), b=(k,−1)，a⊥b，求 k。
解：1·k + 2·(−1) = 0 ⇒ k−2=0 ⇒ k=2。
例5（三点共线）：A(1,1), B(3,5), C(5,9)，判断是否共线。
解：AB=(2,4), AC=(4,8)。2·8−4·4=16−16=0。三点共线。
高考考法常出含参数的共线/垂直问题，列方程求参数；或在解析几何中用向量证平行/垂直。
⑥ 高频错误诊断
错误 1共线条件写成 x1x2+y1y1=0
✗ → ✓ 共线是 x1y2−x2y1=0
垂直才是对应相乘相加。
错误 2垂直条件写成 x1y2=x2y1
✗ → ✓ 垂直是 x1x2+y1y2=0
别记反。
错误 3求参数时分母为零没讨论
✗ → ✓ 分母为零时单独看
如 y1=0 时比例法失效，用交叉相乘。
错误 4三点共线忘先算 AB,AC
✗ → ✓ 先求 AB 和 AC 坐标
再用交叉相乘判。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"判关系两步走：① 共线算交叉相乘 x1y2−x2y1；② 垂直算对应相乘相加 x1x2+y1y2。含参数就列方程。"
口述题
口头说：a=(1,3), b=(2,k)，a⊥b，求 k。
参考答案：1·2+3·k=0 ⇒ 2+3k=0 ⇒ k=−2/3。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1a=(1,2),b=(2,4)，共线吗？
1·4−2·2=0 ⇒ 共线。
基础2a=(1,1),b=(1,−1)，垂直吗？
1·1+1·(−1)=0 ⇒ 垂直。
基础3共线坐标条件：?
x1y2−x2y1=0。
基础4垂直坐标条件：?
x1x2+y1y2=0。
基础5a=(2,k),b=(1,3)，a∥b，k=?
2·3−1·k=0 ⇒ k=6。
基础6a=(1,2),b=(k,−1)，a⊥b，k=?
k−2=0 ⇒ k=2。
中档7a=(2,−1),b=(−4,2)，关系？
2·2−(−4)(−1)=4−4=0 ⇒ 共线（b=−2a）。
中档8A(0,0),B(1,2),C(2,4)，共线吗？
AB=(1,2), AC=(2,4)。1·4−2·2=0 ⇒ 共线。
中档9a=(1,2),b=(3,k)，a⊥b，k=?
3+2k=0 ⇒ k=−3/2。
中档10a=(2,3),b=(4,k)，a∥b，k=?
2k−12=0 ⇒ k=6。
中档11a=(1,0),b=(0,1)，关系？
1·0+0·1=0 ⇒ 垂直（x轴⊥y轴）。
中档12A(1,2),B(3,6),C(5,k)，三点共线，k=?
AB=(2,4), AC=(4,k−2)。2(k−2)−4·4=0 ⇒ k=10。
拔高13a=(1,2),b=(−2,m)，a⊥b，求 m。
−2+2m=0 ⇒ m=1。
拔高14a=(2,3),b=(k,−6)，a∥b，求 k。
2·(−6)−k·3=0 ⇒ −12=3k ⇒ k=−4。
拔高15A(1,1),B(3,5),C(5,k)共线，求 k。
AB=(2,4), AC=(4,k−1)。2(k−1)−16=0 ⇒ k=9。
拔高16a=(1,2),b=(2,−4)，判断关系。
a·b=2−8=−6≠0 不垂直。1·(−4)−2·2=−8≠0 不共线。既不共线也不垂直。
拔高17已知 a=(cosθ, sinθ), b=(1,−1)，a⊥b，求 θ。
cosθ−sinθ=0 ⇒ tanθ=1 ⇒ θ=π/4+kπ。
拔高18A(2,1),B(3,4),C(−1,3)，判断 △ABC 形状。
AB=(1,3), AC=(−3,2)。AB·AC=−3+6=3≠0。|AB|=√10, |AC|=√13, |BC|=√17。不等不垂。不等边非直角三角形。