知识点深化 · 不等式 · 小白第一课
柯西不等式：向量内积与最值的隐藏关系
已知 a+b=1，求 √a+√b 的最大值——答案是 √2，怎么一眼看出来？这就是柯西不等式：(a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)²。它是基本不等式的"加强版"，专门处理"平方和×平方和≥乘积和平方"的最值。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 60 分钟，拆成 4 步，一步都别跳：
1读（15分钟）
读③④：二维柯西公式、等号条件。
2认（15分钟）
做⑤：认出"平方和乘平方和"结构就用柯西。
3练（15分钟）
做⑩：套公式求最值。
4说（15分钟）
做⑨：口述等号成立条件。
第一课小目标学完要能：① 写出 (a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²；② 用它求最值；③ 写等号条件 ad=bc。
② 一图看懂全课（思维导图）
读法：从中心节点出发，按五大分支走，每支下的小节点全记住就通关。
③ 先认识它
一句话：两组数对应相乘再求和的平方，不超过两组数各自平方和的乘积。它本质是向量内积 |α·β| ≤ |α||β| 的代数写法。
等号条件柯西等号当且仅当两向量共线，即 a/c = b/d（ad=bc）。求最值时必须检查这个条件能否取到。
④ 完整公式 / 体系表
柯西不等式（必背）
二维：(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
向量：|α·β| ≤ |α|·|β| （α=(a,b), β=(c,d)）
等号 ⇔ ad = bc（两向量共线）
| 形式 | 写法 |
|---|
| 标准 | (a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)² |
| 根式 | √(a²+b²)·√(c²+d²) ≥ |ac+bd| |
| 三维 | (a²+b²+c²)(d²+e²+f²)≥(ad+be+cf)² |
怎么用它求最值看到"平方和为定值，求线性式最值"，就把线性式配成 ac+bd，让 a²+b² 和 c²+d² 其中一组是常数。
⑤ 用法场景与典型例题
| 题型 | 配法 |
|---|
| a²+b²=1，求 a+b 最大 | (a²+b²)(1+1)≥(a+b)² → a+b≤√2 |
| a+b=1，求 √a+√b 最大 | (a+b)(1+1)≥(√a+√b)² → ≤√2 |
例：a²+b²=1，求 2a+3b 最大值。
解：(a²+b²)(4+9) ≥ (2a+3b)² → 1×13 ≥ (2a+3b)² → 2a+3b ≤ √13。最大 √13。
⑥ 高频错误诊断
错误1：符号乱配
柯西是 (a²+b²)(c²+d²)，别把 c²、d² 配错对象。
错误2：忘写等号条件
求最值必须写"当且仅当 a/c=b/d 时取等"。
错误3：方向用反
(ac+bd)² ≤ 乘积，不是 ≥。
错误4：不验等号能否取
最值是 √13 但等号条件 a:b=2:3 在 a²+b²=1 下能取到，才成立。
错误5：高维乱套
二维柯西最常用；三维以上形式类似但高考少考。
⑦ 考点与真题演练
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 选择/填空 | 平方和定求线性式最值 | 配柯西 |
| 证明题 | 证不等式 | 凑 (a²+b²)(c²+d²) 结构 |
| 向量题 | 内积最值 | 直接用 |α·β|≤|α||β| |
真题风格演练（点击选项即时判断）
真题风格·选择a²+b²=1，则 a+b 的最大值是？
真题风格·填空(a²+b²)(4+9)≥(2a+3b)²，等号成立条件？
真题风格·解答x²+y²=4，求 x+y 最大值。
考场提分提醒柯西题先在草稿写 (a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²，把已知平方和当左边第一项，把要求的线性式当右边，剩下的系数平方和就是左边第二项。
⑧ 必背公式卡
1. (a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)²。
2. 等号 ⇔ ad=bc（共线）。
3. 向量形式：|α·β|≤|α||β|。
4. 平方和定 → 线性式最值用柯西。
5. 求最值必写等号条件。
6. 方向别反：乘积 ≥ 平方和。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述训练
练习 A：说柯西和基本不等式的关系——柯西是更强的版本，基本不等式是它的特例。
练习 B：说为什么等号是共线——两向量同向时内积最大。
练习 C（建模）：工程上"能量守恒"式的极值问题，很多都能套柯西。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1(1²+1²)(a²+b²)≥(a+b)²，若 a²+b²=1，a+b≤？
√2=√2。
基础2柯西等号条件 ad=?。
=bc。
基础3(a²+b²)(c²+d²) ≥ ?。
(ac+bd)²。
基础4|α·β| ? |α||β|。
≤。
基础5柯西不等式方向：左边乘积 ? 右边平方。
≥。
基础6向量共线时内积等于什么？
|α||β|（最大）。
中档7x²+y²=1，求 3x+4y 最大值。
(1)(9+16)≥(3x+4y)² → ≤5，最大 5。
中档8a+b=1，求 √a+√b 最大值。
(a+b)(1+1)≥(√a+√b)² → ≤√2，最大 √2。
中档9x²+y²+z²=1，求 x+y+z 最大值。
(1+1+1)(x²+y²+z²)≥(x+y+z)² → ≤√3。
中档10a²+b²=4，求 a+b 最大。
(1+1)(4)≥(a+b)² → ≤2√2。
中档11已知 2x+3y=6，求 x²+y² 最小值。
(x²+y²)(4+9)≥(2x+3y)²=36 → x²+y²≥36/13，最小 36/13。
中档12柯西等号 a:b=2:3，若 a²+b²=1 能否取到？
能，a=2/√13,b=3/√13，能取到。
拔高13a>0,b>0，a+b=2，求 √(2a+1)+√(2b+1) 最大值。
[(2a+1)+(2b+1)](1+1)≥(√(2a+1)+√(2b+1))² → (2·2+2)·2=12≥和² → ≤2√3。
拔高14求 √x+√(1−x) 最大值（0≤x≤1）。
(x+(1−x))(1+1)≥(√x+√(1−x))² → ≤√2。
拔高15a²+b²=1，求 a·2+b·3 最大值并写等号条件。
最大值 √(4+9)=√13，等号 a/2=b/3 → a=2/√13,b=3/√13。
拔高16柯西不等式 (a²+b²)(c²+d²)≥？
(ac+bd)²。
拔高17已知 a²+b²=1，求 a+b 最大值。
(1²+1²)(a²+b²)≥(a+b)²→a+b≤√2。
拔高18x²+y²+z²=1，求 x+y+z 最大值。
柯西：≤√(3·1)=√3。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 平方和乘平方和，大于乘积和平方。
② 等号成立看共线，ad 等于 bc 时。
③ 平方和定求线性，柯西一配就出界。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 读③④ + 背公式 | 默写柯西公式 |
| 第2天 | 做基础1-6 | 6题全对 |
| 第3天 | 做中档7-12 | 会配柯西 |
| 第4天 | 做拔高13-15 | 会写等号条件 |
| 第5天 | 做⑦真题3题 | 全对 |
| 第6-7天 | 口述一道向量内积最值 | 说清几何意义 |