知识点深化 · 概率统计 · 小白第一课
二项分布：n 次扔硬币，正面出现几次
投篮命中率 0.8，投 10 次，恰好命中 8 次的概率是多少？最可能命中几次？平均命中几次？这就是二项分布：n 次独立重复试验，每次只有"成功/失败"两种结果。它是高考概率解答题的头号主角。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 60 分钟，拆成 4 步，一步都别跳：
1读（15分钟）
读③④：n 次独立重复试验、X~B(n,p)、P(X=k)=C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ。
2认（15分钟）
做⑤：认出题目里"独立重复、两种结果"就是二项分布。
3练（15分钟）
做⑩：重点练 P(X=k)、E(X)=np、D(X)=npq。
4说（15分钟）
做⑨：口述为什么 E(X)=np。
第一课小目标学完要能：① 判断 X~B(n,p)；② 用公式算 P(X=k)；③ 直接写 E(X)=np，D(X)=np(1−p)。
② 一图看懂全课（思维导图）
读法：从中心节点出发，按五大分支走，每支下的小节点全记住就通关。
③ 先认识它
一句话：二项分布描述"n 次独立重复试验中成功次数 X"。每次试验成功概率都是 p，互不影响，X 可能取 0,1,…,n。记作 X~B(n,p)。
三个识别条件题目要同时满足：① 做了 n 次试验；② 每次只有成功/失败；③ 每次成功概率 p 相同、互不影响。少一个都不是二项分布（不放回摸球是超几何，不是二项）。
④ 完整公式 / 体系表
二项分布核心公式
X ~ B(n, p)，q = 1−p
P(X=k) = C(n,k) pᵏ qⁿ⁻ᵏ （k=0,1,…,n）
期望 E(X) = np 方差 D(X) = npq = np(1−p)
最可能次数：k₀ 满足 P(X=k₀) 最大（约等于 np，取整）
| 量 | 公式 | 例：B(10,0.8) |
|---|
| 概率 | P(X=k)=C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ | P(8)=C(10,8)·0.8⁸·0.2² |
| 期望 | np | 10×0.8=8 |
| 方差 | np(1−p) | 10×0.8×0.2=1.6 |
放回 vs 不放回放回抽样 = 二项分布（每次独立同概率）；不放回是超几何分布，不能用 B(n,p)。题目说"有放回/随机抽取且各次互不影响"才是二项。
⑤ 用法场景与典型例题
| 场景 | 识别 |
|---|
| 投篮/射击 n 次命中数 | X~B(n,p) |
| 次品抽检 n 件次品数 | X~B(n,p) |
| 答题 n 道蒙对题数 | X~B(n,p) |
例：投篮 10 次恰中 8 次命中率 0.8，求恰好中 8 次的概率。
P(X=8)=C(10,8)·0.8⁸·0.2²=45·0.1678·0.04≈0.302。
例：至少命中上题求至少命中 9 次。
P(X≥9)=P(9)+P(10)=C(10,9)·0.8⁹·0.2+0.8¹⁰≈10·0.1342·0.2+0.1074≈0.268+0.107=0.375。
⑥ 高频错误诊断
错误1：不放回当二项
不放回抽产品，每次概率在变，是超几何不是二项。必须放回或总体很大近似二项。
错误2：P(X=k) 漏乘 qⁿ⁻ᵏ
写成 C(n,k)pᵏ，忘了失败那 n−k 次的概率 qⁿ⁻ᵏ。
错误3：期望记成 p
E(X)=np 不是 p。投 10 次命中率 0.8，平均中 8 次不是 0.8 次。
错误4："至少/至多"不补对立
求 P(X≥9) 直接加 P(9)+P(10) 没问题；项数多时用 1−P(0)−…−P(8)。
错误5：方差写成 np
D(X)=np(1−p)，不是 np。
⑦ 考点与真题演练
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 选择/填空 | 认二项分布求 E、D | 直接套 np、npq |
| 解答题 | 写分布列 + 求概率 + 期望 | P(X=k) 公式逐档算 |
| 决策题 | 比赛胜率、保险理赔 | 比期望收益 |
真题风格演练（点击选项即时判断）
真题风格·选择X~B(4,0.5)，则 E(X)=？
真题风格·填空某人射击命中率 0.9，独立射 3 次，恰好中 2 次的概率是？
真题风格·解答X~B(n,p)，E(X)=6，D(X)=2.4，则 n=？
考场提分提醒二项分布解答题套路：先写 X 取值 0..n，再用 P(X=k)=C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ 算每档，列表成分布列，最后算 E、D。"至少 k 次"优先用对立补集。
⑧ 必背公式卡
1. X~B(n,p)：n 次独立重复、每次成功概率 p。
2. P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ。
3. E(X)=np；D(X)=np(1−p)。
4. 放回才二项，不放回是超几何。
5. 最可能次数在 np 附近。
6. "至少一次成功"=1−(1−p)ⁿ。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述训练
练习 A：说为什么 E(X)=np——每次平均贡献 p 次成功，n 次就是 np。
练习 B：判断"袋中 10 球 3 红不放回取 5 次，红球数"是不是二项？答：不是，不放回，是超几何。
练习 C（建模）：保险每人出险概率 0.01，1000 人参保，出险人数 X 的期望？答：10 人。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1X~B(5,0.4)，求 E(X)。
5×0.4=2。
基础2X~B(5,0.4)，求 D(X)。
5×0.4×0.6=1.2。
基础3抛硬币 3 次，正面次数 X 服从什么分布？
X~B(3, 0.5)。
基础4一次失败概率 0.3，独立做 10 次，全失败概率？
0.3¹⁰≈5.9×10⁻⁶。
基础5X~B(n,p)，E=4，p=0.5，求 n。
np=4 → n=8。
基础6投篮命中率 0.7，投 1 次得分 Y（中2分不中0分），E(Y)？
2×0.7=1.4。
中档7X~B(3,0.5)，求 P(X=2)。
C(3,2)·0.5²·0.5=3/8=0.375。
中档8射击命中率 0.8，射 4 次恰好中 3 次？
C(4,3)·0.8³·0.2=4·0.512·0.2=0.4096。
中档9答题蒙对率 1/4，蒙 5 道恰好对 2 道？
C(5,2)(1/4)²(3/4)³=10·1/16·27/64=270/1024≈0.264。
中档10X~B(n,p)，E=12，D=4，求 p。
np(1−p)=4，np=12 → 1−p=1/3 → p=2/3。
中档11骰子掷 6 次，恰有 2 次出 6 点？
p=1/6，C(6,2)(1/6)²(5/6)⁴=15·1/36·625/1296≈0.201。
中档12产品次品率 0.1，有放回抽 3 件，至多 1 件次品？
P(0)+P(1)=0.9³+C(3,1)·0.1·0.9²=0.729+0.243=0.972。
拔高13投篮命中率 0.6，独立投 5 次，至少中 3 次的概率？
P(3)+P(4)+P(5)=C(5,3)0.6³0.4²+C(5,4)0.6⁴0.4+0.6⁵=10·0.216·0.16+5·0.1296·0.4+0.0778=0.3456+0.2592+0.0778≈0.683。
拔高14X~B(n,0.5)，P(X=n)=1/16，求 n。
0.5ⁿ=1/16 → n=4。
拔高15一批灯泡合格率 0.8，有放回抽 4 只，求合格只数 X 的分布列、E(X)、D(X)。
X~B(4,0.8)：P(0)=0.2⁴=0.0016；P(1)=4·0.8·0.2³=0.0256；P(2)=6·0.8²·0.2²=0.1536；P(3)=4·0.8³·0.2=0.4096；P(4)=0.8⁴=0.4096。E=3.2，D=0.64。
拔高16X~B(n,p)，E(X)=12，D(X)=4，求 n,p。
np=12,np(1−p)=4→1−p=1/3→p=2/3，n=18。
拔高17某射手每次命中 0.8，独立射 5 次，至少中 4 次的概率。
C(5,4)0.8⁴·0.2+0.8⁵=5·0.4096·0.2+0.32768=0.7373。
拔高18X~B(10,0.5)，求 P(X=5)。
C(10,5)(0.5)¹⁰=252/1024≈0.246。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① n 次独立两结果，二项分布 B(n,p)。
② P(X=k) 组合搭，p 的 k 次 q 的 n−k 次。
③ 期望 np 方差 npq，放回才用二项式。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 读③④ + 背公式 | 默写 P(X=k)、np、npq |
| 第2天 | 做基础1-6 | 6题全对 |
| 第3天 | 做中档7-12 | 会算 P(X=k) |
| 第4天 | 做拔高13-15 | 会写完整分布列 |
| 第5天 | 做⑦真题3题 | 全对 |
| 第6-7天 | 口述一道保险/投篮题 | 说清为什么是二项 |