知识点深化 · 不等式 · 小白第一课
基本不等式：两正数之和何时最小、积何时最大
用 12 米篱笆围一个面积最大的矩形，怎么围？答案是正方形——背后就是 a+b≥2√(ab)。这一页讲透基本不等式的"一正二定三相等"和凑项技巧，这是高考求最值的头号工具。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 60 分钟，拆成 4 步，一步都别跳：
1读（15分钟）
读③④：a+b≥2√(ab)、"一正二定三相等"。
2凑（15分钟）
做⑤：练凑项使和为定值或积为定值。
3练（15分钟）
做⑩：重点练"积定和最小、和定积最大"。
4说（15分钟）
做⑨：口述等号成立条件。
第一课小目标学完要能：① 用 a+b≥2√(ab) 求最值；② 检查"一正二定三相等"；③ 凑项配出定值。
② 一图看懂全课（思维导图）
读法：从中心节点出发，按五大分支走，每支下的小节点全记住就通关。
③ 先认识它
一句话：两个正数的算术平均 ≥ 几何平均，即 (a+b)/2 ≥ √(ab)，等号当且仅当 a=b。它是求最值最常用的不等式。
"一正二定三相等"（缺一个都不能用）① 一正：a、b 都必须是正数；② 二定：求积最大则和为定值，求和最小则积为定值；③ 三相等：必须能取到 a=b，否则等号取不到，最值就落空。
④ 完整公式 / 体系表
核心公式（a,b>0）
基本不等式：a + b ≥ 2√(ab)，等号 ⇔ a = b
变形：ab ≤ (a+b)²/4 （和定，积最大）
a + b ≥ 2√(ab) （积定，和最小）
常用：x + 1/x ≥ 2（x>0，x=1 取等）
| 模型 | 条件 | 结论 |
|---|
| 积定和最小 | ab=定值 | a+b ≥ 2√(ab)，a=b 时最小 |
| 和定积最大 | a+b=定值 | ab ≤ (a+b)²/4，a=b 时最大 |
| 1 的代换 | ax+by=1 | 乘 1 展开后用基本不等式 |
乘 1 法（高频技巧）已知 x+2y=1，求 1/x+1/y 最小值。把式子乘 (x+2y)：(1/x+1/y)(x+2y)=1+2x/y+y/x+2=3+2x/y+y/x ≥ 3+2√2。这就是"凑出定值"。
⑤ 用法场景与典型例题
| 题型 | 关键 |
|---|
| 篱笆/面积 | 和定→正方形面积最大 |
| 造价最低 | 积定→单价相加最小 |
| 分式最值 | 凑 x+k/x 型 |
例：x>0，求 x + 4/x 最小值。
解：x + 4/x ≥ 2√(x·4/x)=2√4=4。等号 x=4/x → x=2。最小值 4。
例：围篱笆12 米篱笆围矩形，最大面积？
解：2(a+b)=12 → a+b=6。ab≤(6)²/4=9。a=b=3 时最大面积 9 m²。
⑥ 高频错误诊断
错误1：忘记"正数"条件
a、b 有负数时不能直接用 a+b≥2√(ab)。题目没说正，先看能不能保证正。
错误2：等号取不到
用了不等式但 a=b 在定义域外（如 x>2 时 x+1/x），此时最小值不是 2，要改用对勾函数单调性。
错误3：不是定值硬套
和或积不是定值时，用基本不等式得不到具体最值。必须先凑出"定"。
错误4：漏写等号条件
答题要写"当且仅当 a=b 时取等"，否则扣步骤分。
错误5：x+1/x 最小值不验 x 正负
x>0 时 x+1/x≥2；x<0 时要提负号变 −(−x+1/(−x))≤−2。
⑦ 考点与真题演练
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 选择/填空 | 直接套基本不等式求最值 | 验三条件 |
| 解答题 | 乘 1 法/凑项 | 展开后用均值 |
| 应用题 | 篱笆/造价/容积 | 建模→定和或定积 |
真题风格演练（点击选项即时判断）
真题风格·填空a+b=4（a,b>0），ab 最大值是？
真题风格·解答x>0,y>0，x+y=1，则 1/x+1/y 最小值？
考场提分提醒用基本不等式三步：① 确认正数；② 凑出积定或和定；③ 验等号能否取到。等号取不到就转用对勾函数（打钩函数）单调性。
⑧ 必背公式卡
1. a,b>0：a+b ≥ 2√(ab)，等号 ⇔ a=b。
2. 一正二定三相等，缺一不可。
3. 和定积最大 ab≤(a+b)²/4。
4. 积定和最小 a+b≥2√(ab)。
5. x>0 时 x+1/x≥2（x=1 取等）。
6. 乘 1 法：已知等式乘目标式，展开再用均值。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述训练
练习 A：说"一正二定三相等"每条什么意思。
练习 B：说为什么 a+b=定值时正方形面积最大——ab 在 a=b 时最大。
练习 C（建模）：做一个容积固定的无盖长方体盒子，怎么设计最省料？答：底面正方形、高为底边长一半附近最省料。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1x>0，x+4/x 最小值？
2√4=4（x=2）。
基础2a,b>0，a+b=10，ab 最大值？
(10)²/4=25。
基础3a,b>0，ab=16，a+b 最小值？
2√16=8。
基础4x>0，x+1/x 最小值？
2（x=1）。
基础5用基本不等式要求 a,b 是什么数？
正数。
基础6a=b 时等号成立，这叫"三"什么？
三相等。
中档7x>2，x+1/(x−2) 最小值？
令 t=x−2>0，t+2+1/t≥2+2=4，t=1 即 x=3，最小 4。
中档8x>0，4x+1/x 最小值？
2√(4x·1/x)=2·2=4。
中档9a,b>0，2a+b=1，ab 最大值？
ab=(2a·b)/2≤(1)²/8=1/8，2a=b=1/2 时，最大 1/8。
中档10篱笆 20 米围矩形，最大面积？
a+b=10，ab≤25，最大 25 m²。
中档11x>0，求 x²+1/x 最小值（提示拆 x²+1/(2x)+1/(2x)）
≥3∛(x²·1/(2x)·1/(2x))=3/∛4。高中阶段此形式常用三元均值，基础阶段记 ≈1.89。
中档12x>0，y>0，xy=4，求 x+y 最小。
2√4=4。
拔高13x>0,y>0，1/x+1/y=1，求 x+y 最小。
(x+y)(1/x+1/y)=2+x/y+y/x≥4，最小 4（x=y=2）。
拔高14x>0，求 x/(x²+4) 最大值。
=1/(x+4/x)≤1/4，最大 1/4（x=2）。
拔高15用 6 米材料做一个"日"字形窗框（3横2竖），求最大透光面积。
设横长 x，竖长 y：3x+2y=6。面积 S=xy。由 3x·2y≤((3x+2y)/2)²=9 → 6xy≤9 → S≤3/2。最大面积 1.5 m²。
拔高16x>0，求 x+4/x 最小值。
a+b≥2√(ab)=2√4=4，x=2取等。
拔高170<x<1，求 x(1−x) 最大值。
x+(1−x)=1，x(1−x)≤(1/2)²=1/4，x=1/2取等。
拔高18已知 x+2y=1 (x,y>0)，求 1/x+1/y 最小值。
乘 (x+2y)：=3+x/y+2y/x≥3+2√2，min=3+2√2。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 两正数均值不等式，和大于两倍几何均。
② 一正二定三相等，积定和小和定积大。
③ 凑不出定值乘 1 法，等号取不到转钩形。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检标准 |
|---|
| 第1天 | 读③④ + 背公式 | 默写 a+b≥2√ab |
| 第2天 | 做基础1-6 | 6题全对 |
| 第3天 | 做中档7-12 | 会凑项 |
| 第4天 | 做拔高13-15 | 会乘1法 |
| 第5天 | 做⑦真题3题 | 全对 |
| 第6-7天 | 口述一道篱笆应用题 | 说清建模过程 |