三角函数 · 第 4 站
辅助角公式：asinx+bcosx = √(a²+b²)sin(x+φ)
看到 asinx+bcosx 就头疼？辅助角公式把两个三角函数合成一个：asinx+bcosx = √(a²+b²) sin(x+φ)。求最值、周期、单调区间的神器。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
理解辅助角 φ 的定义和几何意义。
2练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练求 φ 和最值。
3对（20 分钟）
练化一：把 sinx+cosx 合成 Asin(x+φ)。
4默（10 分钟）
背辅助角公式和 φ 求法。
第一课小目标① 把 sinx+cosx 合成 √2sin(x+π/4)；② 求 2sinx+√3cosx 的最大值。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
辅助角
→
公式
asinx+bcosx
=√(a²+b²)sin(x+φ)
tanφ=b/a
→
φ求法
cosφ=a/√(a²+b²)
sinφ=b/√(a²+b²)
看象限
→
→
特例
sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
sinx±√3cosx=2sin(x±π/3)
③ 先认识它：：合一变形
辅助角公式：asinx + bcosx = √(a²+b²) · sin(x + φ)，其中 tanφ = b/a，φ 所在象限由 (a,b) 符号决定。
φ 的象限由 (a,b) 符号决定：a>0,b>0 第一象限；a<0,b>0 第二象限；a<0,b<0 第三象限；a>0,b<0 第四象限。别只看 tanφ。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1：化 sinx+cosx 为 Asin(x+φ)。
解：a=1,b=1。A=√2。cosφ=1/√2, sinφ=1/√2 ⇒ φ=π/4。= √2 sin(x+π/4)。
例2：求 2sinx+2cosx 的最大值。
解：= 2√2 sin(x+π/4)。最大值=2√2。
例3：求 √3 sinx − cosx 的最小值。
解：A=√(3+1)=2。cosφ=√3/2, sinφ=−1/2 ⇒ φ=−π/6。=2sin(x−π/6)。最小值=−2。
例4：求 sinx+√3cosx 的周期和单调递增区间。
解：=2sin(x+π/3)。周期=2π。递增：2kπ−π/2≤x+π/3≤2kπ+π/2 ⇒ [2kπ−5π/6, 2kπ+π/6]。
高考考法三角函数大题第二问：化简成 Asin(ωx+φ) 后求最值/单调区间/对称轴。
⑥ 高频错误诊断
错误 1φ 只看 tanφ=b/a 不看象限
✗ → ✓ 由 cosφ=a/A, sinφ=b/A 定象限
tanφ 可能有两个解。
错误 2A = a²+b²
✗ → ✓ A = √(a²+b²)
要开根号。
错误 3sinx+√3cosx = 2sin(x+π/6)
✗ → ✓ = 2sin(x+π/3)
cosφ=√3/2 对应 φ=π/6？不，sinφ=1/2 对应 π/6。重新算：cosφ=√3/2, sinφ=1/2 ⇒ φ=π/6。但原式应写成 2sin(x+π/6)？验证：2sin(x+π/6)=2(sinx·√3/2+cosx·1/2)=√3sinx+cosx。对！题目是 sinx+√3cosx ⇒ a=1,b=√3 ⇒ cosφ=1/2,sinφ=√3/2 ⇒ φ=π/3。
错误 4周期随 a,b 变
✗ → ✓ 周期恒为 2π（ω=1 时）
合并不影响周期。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. sinx + cosx = ？
解析：a=b=1, A=√2, φ=π/4。
2. 2sinx + 2cosx 的最大值 = ？
解析：A=√(4+4)=2√2。
3. √3 sinx + cosx = 2sin(x+φ)，则 φ = ？
解析：cosφ=√3/2, sinφ=1/2 ⇒ φ=π/6。
⑧ 必背公式卡
asinx+bcosx = √(a²+b²) sin(x+φ)。
cosφ=a/√(a²+b²)，sinφ=b/√(a²+b²)。
最大值 = √(a²+b²)，最小值 = −√(a²+b²)。
sinx+cosx = √2 sin(x+π/4)。
sinx+√3cosx = 2sin(x+π/3)。
√3sinx+cosx = 2sin(x+π/6)。
φ 象限由 (a,b) 符号定。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"辅助角三步：① 算 A=√(a²+b²)；② 算 cosφ=a/A, sinφ=b/A 定 φ；③ 写成 Asin(x+φ) 后求最值区间。"
口述题
口头说：化 1/2 sinx + √3/2 cosx。
参考答案：A=√(1/4+3/4)=1。cosφ=1/2, sinφ=√3/2 ⇒ φ=π/3。=sin(x+π/3)。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础2sinx+cosx=?
= √2sin(x+π/4)。
基础3asinx+bcosx 最大值=?
= √(a²+b²)。
基础5sinx−cosx=?
= √2sin(x−π/4)。
中档7化 sinx+√3cosx。
=2sin(x+π/3)。
中档8化 √3sinx+cosx。
=2sin(x+π/6)。
中档9求 sinx+cosx 的最大值。
=√2。
中档10求 3sinx+4cosx 的最大值。
=5。
中档11求 sinx−cosx 的最小值。
=−√2。
中档12化 2sinx−2cosx。
=2√2sin(x−π/4)。
拔高13求 f(x)=sinx+cosx 的单调递增区间。
=√2sin(x+π/4)。递增：2kπ−3π/4≤x≤2kπ+π/4。
拔高14求 f(x)=2sinx+2cosx 在 [0,π/2] 上最大值。
=2√2sin(x+π/4)。x+π/4∈[π/4,3π/4]。sin 最大 1 在 x=π/4。最大值 2√2。
拔高15求 3sinx+4cosx 的对称轴。
=5sin(x+φ)，tanφ=4/3。对称轴 x+φ=π/2+kπ。
拔高16化 sinx+cosx+sinxcosx，求最值。
设 t=sinx+cosx∈[−√2,√2]。sinxcosx=(t²−1)/2。原式=t+(t²−1)/2。二次函数在 t=√2 取最大 (1+2√2)/2。
拔高17f(x)=asinx+cosx 最大值为 √5，求 a。
√(a²+1)=√5 ⇒ a²=4 ⇒ a=±2。
拔高18求 sin²x+sinxcosx 的值域。
= (1−cos2x)/2 + ½sin2x = 1/2 + √2/2 sin(2x−π/4)。值域 [½−√2/2, ½+√2/2]。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 合一变形找 A，根号下 a² 加 b²。
② cosφ 是 a 比 A，sinφ 是 b 比 A。
③ 最值就是 ±A，周期永远 2π。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 背公式 + 推特例 | 3 个特例秒答 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | φ 象限对 |
| 第 4 天 | 默写辅助角公式 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天合一变形 2 个 | 零失误 |