数列 · 第 1 站
等差数列：通项 an = a1 + (n−1)d 与求和
数列就是“一列按顺序排好的数”。等差数列是最基础的一类：相邻两项差固定。从 1+2+...+100 的高斯故事，到银行单利、楼梯台阶，全是它。这一站把通项、求和、性质彻底拿下。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
理解 d 是公差，an 是第 n 项，Sn 是前 n 项和。
2推（15 分钟）
自己推通项公式和求和公式（倒序相加）。
3练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练“知三求二”。
4背（10 分钟）
背通项和求和两个公式。
第一课小目标① 写出 an 和 Sn 公式；② 已知 a1,d,n 求 an,Sn；③ 用性质 an+am=ap+aq（m+n=p+q）。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
等差数列
→
→
通项
an=a1+(n−1)d
an=am+(n−m)d
→
求和
Sn=n(a1+an)/2
Sn=na1+n(n−1)d/2
→
性质
m+n=p+q
am+an=ap+aq
Sn 最值
③ 先认识它：：相邻两项差固定
定义：从第 2 项起，每一项与前一项的差等于同一个常数 d，即 a(n+1) − a(n) = d。d>0 递增，d<0 递减，d=0 常数列。
an 是 n 的一次函数an = dn + (a1−d)，图像是直线上的孤立点。Sn = (d/2)n² + (a1−d/2)n，是 n 的二次函数（无常数项）。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1（基本）：a1=2, d=3, 求 a10 和 S10。
解：a10 = 2+9·3 = 29。S10 = 10·2 + 10·9·3/2 = 20+135 = 155。
例2（知三求二）：a3=5, a7=13，求 a1 和 d。
解：a7−a3 = 4d = 8 ⇒ d=2。a3 = a1+2d = 5 ⇒ a1 = 5−4 = 1。
例3（性质）：等差数列中 a3+a8=10，求 a5+a6。
解：3+8=5+6，所以 a5+a6 = a3+a8 = 10。
例4（Sn 最值）：an = 3n−15，求 Sn 最小时 n。
解：令 an≤0：3n−15≤0 ⇒ n≤5。即前 5 项非正，第 6 项开始为正。Sn 在 n=5 时最小（或 n=5,6 一样，因为 a5=0）。n=5。
应用场景高斯求和 1+2+...+100=5050；单利本息和；堆放钢管（最上层几根、每层多一根）；找零钱数。
⑥ 高频错误诊断
错误 1an = a1 + nd（忘减 1）
✗ → ✓ an = a1 + (n−1)d
第 n 项比首项多 n−1 个 d。
错误 2Sn = n(a1+an)/2 写成 n(a1+an)
✗ → ✓ 要除以 2
倒序相加是两倍和，别忘了除 2。
错误 3性质 m+n=p+q 时 am+an=ap+aq 用错
✗ → ✓ 必须下标和相等
a1+a9=a5+a5 但 a1+a8≠a5+a5。
错误 4Sn 最值时只看 an 变号，忘 an=0 的情况
✗ → ✓ an=0 时 Sn(n)=Sn(n−1)
若 an=0，n 和 n−1 都是最值点。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. 等差数列 {an} 中，a1=1, d=2，则 a10 = ？
解析：a10=1+9·2=19。
2. 等差数列 {an} 中，a2+a8=12，则 a5 = ？
解析：2+8=2·5，所以 a2+a8=2a5=12 ⇒ a5=6。
3. 等差数列 {an} 中，a1=3, d=−2，则前 n 项和 Sn 的最大值在 n=？
解析：an=3+(n−1)(−2)=5−2n。令 an≥0：n≤2.5，即 n=2 时 a2=1>0，n=3 时 a3=−1<0。S1=3, S2=4, S3=3，最大在 n=2。
⑧ 必背公式卡
an = a1 + (n−1)d = am + (n−m)d。
Sn = n(a1+an)/2 = n·a1 + n(n−1)d/2。
m+n=p+q ⇒ am+an=ap+aq。
m+n=2p ⇒ am+an=2ap。
Sn 是 n 的二次函数（无常数项）。
Sn 最值：令 an 变号（含 an=0）。
Sn, S2n−Sn, S3n−S2n 仍成等差。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"等差数列题先找 a1 和 d：① 给两项就列方程组解 a1,d；② 求和用 Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=na1+n(n−1)d/2；③ 看到下标和相等就用性质 m+n=p+q；④ 求最值令 an 变号。"
建模题
电影院第一排有 20 个座位，往后每排比前一排多 2 个，共 30 排，求总座位数。
参考答案：a1=20, d=2, n=30。a30=20+29·2=78。S30=30·(20+78)/2=30·49=1470 个。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1a1=5, d=3，求 a4。
a4=5+3·3=14。
基础2a1=2, a5=10，求 d。
d=(10−2)/4=2。
基础3a1=1, an=100, n=100，求 S100。
S=100·(1+100)/2=5050。
基础41+2+3+...+n = ?
= n(n+1)/2。
基础5a3=7, a5=11，求 a1。
d=(11−7)/2=2。a1=7−2·2=3。
中档7a1=10, d=−2，求 S10。
S10=10·10+10·9·(−2)/2=100−90=10。
中档8a4+a6=12，求 a5。
4+6=2·5，2a5=12 ⇒ a5=6。
中档9S3=9, S6=36，求 a7+a8+a9。
S6−S3=27 是 a4+a5+a6。S3, S6−S3, S9−S6 等差，公差 18。a7+a8+a9=S9−S6=27+18=45。
中档10an=2n−1，求 S100。
a1=1, a100=199。S100=100·(1+199)/2=10000。
中档11三个数成等差，和为 15，平方和为 83，求这三个数。
设 a−d,a,a+d。和=3a=15⇒a=5。平方和=(5−d)²+25+(5+d)²=75+2d²=83⇒d²=4⇒d=±2。3,5,7。
中档12a1=20, d=−2，求 Sn 最大值。
an=20−2(n−1)=22−2n≥0⇒n≤11。n=11 时 a11=0。S11=11·20+11·10·(−2)/2=220−110=110。
拔高13等差数列 {an} 中 a1=−10, d=2，求 Sn 最小值。
an=−10+2(n−1)=2n−12。令 an≤0：n≤6。n=6 时 a6=0。S6=6·(−10)+6·5·2/2=−60+30=−30。
拔高14已知 Sn=2n²−n，求 an。
n=1 时 a1=S1=1。n≥2 时 an=Sn−Sn−1=2n²−n−[2(n−1)²−(n−1)]=4n−3。检验 n=1 时 4−3=1 ✓。an=4n−3。
拔高15等差数列 {an} 中 a1=2, a2 为 a1,a3 的等比中项，求 d。
a2=a1+d=2+d。a3=2+2d。等比中项：a2²=a1·a3 ⇒ (2+d)²=2(2+2d) ⇒ 4+4d+d²=4+4d ⇒ d²=0 ⇒ d=0。
拔高16求和：1−2+3−4+5−6+...+99−100。
每两项一组：(1−2)+(3−4)+...+(99−100) = (−1)·50 = −50。
拔高17等差数列 {an} 中 a1=1, S10=100，求 a10。
S10=10·1+10·9d/2=10+45d=100⇒d=2。a10=1+9·2=19。
拔高18已知 f(x)=a1x+a2x²+...+anxⁿ，{an} 等差，f(1)=n²，求 an。
f(1)=a1+a2+...+an=Sn=n²。由 Sn=n² 反推：an=Sn−Sn−1=2n−1。an=2n−1。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀
① 通项 a1 加 n−1 倍 d，和为首末平均乘 n。
② 下标和等项和等，等差中项 2ap=am+an。
③ Sn 是二次无常数，最值看 an 变号时。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 推通项和求和公式 | 不看书能推 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 性质用对 |
| 第 4 天 | 默写 an, Sn 公式 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天做 2 道知三求二题 | 零失误 |