轴对称与等腰三角形：对折重合的美
轴对称
对折重合，轴垂直平分连线
垂直平分线
上点到两端等距
等腰
等边对等角、三线合一
将军饮马
对称点连线最短
开场场景：蝴蝶的翅膀、人的脸、窗花——对折一下两边能完全重合，这就是轴对称。等腰三角形就是一个"对折就重合"的三角形：两条腰一样长，底下两个底角一样大。这种对称让它一个人顶三个人用：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，居然是同一条线。
义是什么：对折重合的图形
轴对称：把一个图形沿一条直线对折，直线两旁能完全重合，就叫轴对称。这条直线叫对称轴。它的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分。
线段垂直平分线：既垂直又平分一条线段的直线。上面任一点到线段两个端点的距离相等——这是个超好用的性质。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的边叫腰，第三边叫底。等边对等角：两腰对的底角相等。三线合一：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高是同一条线段。
路怎么想到的：没说哪个角，必须分类讨论
等腰三角形已知一角求另两角，最容易漏解：这个已知角可能是顶角，也可能是底角，必须分两种情况算，再检验内角和是否超 180°。比如已知 70°：若它是顶角，底角各 $(180-70)/2=55°$；若它是底角，另一底角 70°，顶角 $180-140=40°$。
将军饮马：A、B 在直线 l 同侧，要在 l 上找一点 P 使 $PA+PB$ 最短。做法：作 A 关于 l 的对称点 $A'$，连 $A'B$ 交 l 于 P。因为 $PA=PA'$，$PA+PB=A'B$，两点之间线段最短。对称就是把"折线"拉成"直线"。
完整解法：三道例题
用途与案例
生活：建筑美学
等腰三角形屋顶、对称的桥梁——左右对称既好看又受力均匀。很多logo、国旗都用轴对称图形。
数学：最短路径
将军饮马是中考热点：喝水路线、水管铺到两村、台球反弹，本质都是"对称把折线拉直"。
展往哪儿长
初中：轴对称等腰三角形 → 等边三角形 → 勾股定理（常配合等腰）→ 圆的对称性。高中：对称轴思想升级为函数图像的对称——偶函数关于 y 轴对称、奇函数关于原点对称；解析几何里求轨迹对称点。大学：对称群是抽象代数的入门对象。
奥数延展：等边三角形里"费马点"——找一点使它到三顶点距离和最小，靠的就是旋转 60° 把三段折线拉直。
等腰没说哪个角是顶角，必须分类讨论：已知角是钝角时，它只能是顶角（两个钝角底角就超 180° 了），这种情况一解；已知角是锐角，两解。"三线合一"只针对顶角：底角的角平分线可没有这个特权，别乱用。另外"等边对等角"是对边对对角，别张冠李戴。
练习
基础：等腰三角形一个角是 100°，另两角各多少？
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100° 只能是顶角（两底角不能是钝角），底角 $=(180-100)/2=$40°,40°。一解。错了或卡壳？钝角只能当顶角。
进阶：等腰三角形两边长 4 和 9，周长是多少？（注意分类并验三边关系）
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若腰 4：4,4,9 不成立（4+4<9）；若腰 9：9,9,4 成立，周长 $=9+9+4=$22。错了或卡壳？别忘了验三边关系。
奥数：等边三角形边长 6，求它的高。
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高把等边三角形分成两个 30-60-90 直角三角形，底边一半 3，高 $=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3$。错了或卡壳？三线合一，高也是中线。
证教材级补充：等边对等角的证明
证明：在 $\triangle ABC$ 中 $AB=AC$。作顶角平分线 AD 交 BC 于 D。在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中：$AB=AC$，$\angle BAD=\angle CAD$，$AD=AD$，由 SAS 全等，得 $\angle B=\angle C$。同时全等还给出 $BD=CD$、$\angle ADB=\angle ADC=90°$，于是 AD 既是中线又是高——这就顺便证出了"三线合一"。本质：作对称轴把三角形劈成全等的两半。
基础例题：等腰三角形顶角 80°，底角多少？
底角 $=(180-80)/2=$50°。错了或卡壳？两底角相等。
进阶例题：线段 AB 垂直平分线上一点 P，PA=5，求 PB。
垂直平分线上点到两端等距，$PB=PA=$5。错了或卡壳？回忆垂直平分线性质。
① 轴对称：对应点连线被轴垂直平分。
② 等腰：等边对等角，三线合一（只在顶角）。
③ 没说哪个角是顶角，必须分类讨论。
④ 将军饮马：作对称点，把折线拉成直线。
- 用自己的话讲：本章核心是「轴对称 / 等腰三线合一 / 将军饮马」，合上书讲一遍。
- 举个反例 / 什么时候最容易错："等腰一角 70°，另两角一定是 55°,55°"为什么不全面？70° 也可能是底角。
- 哪里还卡壳（标记你的薄弱点）：将军饮马为什么作对称点就最短？想不通就再读那段证明。