研究生数学 · 动力系统与稳定性：平衡点、相图与李雅普诺夫

动力系统与稳定性：平衡点、相图与李雅普诺夫

Dynamical Systems & Stability · 系统往哪儿走、会不会停住

【章首引子】一个小球在碗里滚，最后会停在碗底；放在倒扣的碗顶，一碰就跑。数学上怎么判断一个系统最终"停得住"还是"会发散"？这就是动力系统与稳定性。神经网络的平衡态、生态系统的种群、电路的稳态、甚至 GNN 的传播收敛，背后都是这套语言：先找平衡点，再看它稳定不稳定。

卡必背公式 / 记忆口诀

一阶自治：ẋ = f(x)，平衡点 f(x₀)=0

1D 判稳：f′(x₀)<0 稳定，f′(x₀)>0 不稳定

二维 x′=Ax：按特征值实部分类

李雅普诺夫：V>0，V̇≤0 稳定

口诀：平衡点看 f=0，稳不稳看导数符号

① 是什么：相空间与平衡点

啥动力系统在描述什么

① 相空间：把系统所有状态变量当成一个向量 x，所有可能状态组成的空间叫相空间。系统随时间的演化 x(t) 在相空间里画出一条轨迹（轨道），所有轨迹的草图叫相图。

② 一阶自治方程：ẋ = f(x)（右端不显含时间 t）。令 f(x₀)=0 求得的 x₀ 叫平衡点（不动点）——一旦到了这里就不动了。在平衡点附近把 f 泰勒展开：f(x)≈f′(x₀)(x−x₀)，所以偏离量 δ=x−x₀ 满足 δ̇≈f′(x₀)δ。

③ 1D 稳定性判据：若 f′(x₀)<0，偏离指数衰减（δ=e^{f′(x₀)t}·δ₀）→ 渐近稳定；若 f′(x₀)>0，偏离指数放大 → 不稳定；f′(x₀)=0 需高阶项（分岔临界）。

④ 二维线性系统 x′=Ax：解为 x(t)=e^{At}x₀，行为由 A 的特征值 λ₁,λ₂ 决定。实部 Re(λ)<0 往原点收，>0 发散，=0 转圈。

图 29.1：一维相图——平衡点与流向（蓝点=稳定，红点=不稳定）

② 怎么想到的

思解题心法

先找平衡点：令 f(x)=0（或 Ax=0），解出所有不动点，这是分析的起点。

1D 看导数符号：f′(x₀)<0 像碗底（推回来），>0 像碗顶（越推越远）。

二维看特征值：两负实根=结点；一正一负=鞍点（必不稳定）；共轭复根+实部<0=稳定焦点；实部=0=中心（中性转圈）。

非线性系统没解析式 → 李雅普诺夫函数：找一个"能量"V(x)>0，看它随时间是否只减不增。

证核心定理与公式

定理：① 线性系统 x′=Ax 稳定判据：所有特征值实部 Re(λ)<0 ⇒ 原点渐近稳定；有一个 Re(λ)>0 ⇒ 不稳定；全 Re(λ)≤0 且零实部是半单的 ⇒ 李雅普诺夫稳定（中性）。② 二维分类：tr A=λ₁+λ₂，det A=λ₁λ₂；det<0 ⇒ 鞍点；tr<0 且 det>0 且 tr²>4det ⇒ 稳定结点；tr<0, det>0, tr²<4det ⇒ 稳定焦点；tr=0, det>0 ⇒ 中心。③ 李雅普诺夫直接法：在原点邻域若存在 V(x) 使 V(0)=0、V(x)>0（正定）且 V̇(x)=∇V·f(x)≤0，则原点稳定；若 V̇<0（负定），则渐近稳定；若 V̇≤−cV 则指数稳定。

推导思路（1D 线性化）：平衡点 x₀ 处 f(x₀)=0，泰勒展开 ẋ=f′(x₀)(x−x₀)+O((x−x₀)²)。忽略高阶项得线性方程 δ̇=f′(x₀)δ，解 δ(t)=e^{f′(x₀)t}δ₀。f′(x₀)<0 时指数衰减，f′(x₀)>0 时指数放大——这就是"线性化决定稳定性"。

推导思路（李雅普诺夫直觉）：V(x) 像"系统到原点的距离度量"。V̇=dV/dt=∇V·ẋ=∇V·f(x) 是这个度量随时间的变化率。若 V̇≤0，球越来越小不增大，系统困在里面不跑远——稳定。若 V̇<0，球持续收缩，最终到原点——渐近稳定。

分岔简介：当参数 μ 变化时，平衡点个数或稳定性突然改变，叫分岔。典型三种：鞍结分岔（一对平衡点诞生/消失）、叉式分岔（一个稳定点分出两个，如对称破缺）、Hopf 分岔（平衡点失稳，同时冒出极限环——从"停住"变成"周期性振荡"）。Hopf 在生态（种群周期）、电路（振荡）、AI（极限环吸引子）里极常见。

③ 例题

例1：逻辑斯蒂方程 ẋ = r x(1 − x/K)（种群增长）

【审题】平衡点满足 r x(1−x/K)=0，得 x=0 与 x=K。

思路：对 f(x)=rx(1−x/K) 求导。

逐步：f′(x)=r(1−x/K)−rx/K=r(1−2x/K)。在 x=0：f′(0)=r>0 → 不稳定（少量种群会增长）；在 x=K：f′(K)=r(1−2)=−r<0 → 稳定（种群收敛到环境容量 K）。这就是"S 型增长曲线"的数学本质。

例2：矩阵 A=[[0,1],[−1,0]] 的原点（旋转）

【审题】特征方程 λ²+1=0，λ=±i。

思路：实部全为 0。

逐步：Re(λ)=0，纯虚特征值 → 轨迹是同心圆（旋转），中心。原点李雅普诺夫稳定但不渐近稳定——系统转圈不停下。这与上一章矩阵指数 e^{At} 给出旋转矩阵一致。

例3：用李雅普诺夫函数判断 ẋ=−x³（非线性）

【审题】线性化在 0 处 f′(0)=0，判据失效。

思路：取 V(x)=½x²。

逐步：V(x)=½x²>0（x≠0 时）。V̇=x·ẋ=x·(−x³)=−x⁴<0（x≠0）。负定 ⇒ 原点渐近稳定。注意：收敛是慢的（~1/t，非指数），因为线性化退化了。

图 29.2：李雅普诺夫函数 V(x) 像一只碗，原点是碗底（V̇<0 表示小球不断往下滚）

动力系统核心公式平衡点：f(x₀)=0 | 1D 判稳：f′(x₀)<0 稳定，f′(x₀)>0 不稳定
二维：tr A=λ₁+λ₂，det A=λ₁λ₂；det<0 ⇒ 鞍点；Re(λ)<0 ⇒ 渐近稳定
李雅普诺夫：V(0)=0, V(x)>0, V̇=∇V·f(x)≤0 ⇒ 稳定；V̇<0 ⇒ 渐近稳定
分岔：鞍结 / 叉式 / Hopf（Hopf 冒出极限环）

④ AI 落点

稳定性

AI 落点 1：RNN/循环网络稳定性

RNN 隐状态 hₜ=σ(W hₜ₋₁+b) 的平衡点与雅可比 W 的特征值决定梯度是否消失/爆炸——谱半径 ρ(W)<1 才稳定训练。

算法

AI 落点 2：神经 ODE 与连续深度

把网络层写成 ẋ=f(x,t,θ)，用 ODE 求解器前向、用伴随法反向。稳定性要求 f 的向量场设计得保证数值积分不爆。

优化

AI 落点 3：SGD 动力学

梯度下降在凸函数上是 ẋ=−∇f(x)，全局最优点是渐近稳定平衡点；分析学习率与条件数就是分析这个动力系统的稳定性。

GNN 前置

AI 落点 4：图上传播收敛

PageRank、热核传播 x(t)=e^{−tL}x₀ 收敛到 L 的零空间（常数向量），正是"拉普拉斯最小特征值方向的渐近稳定平衡点"。

⑤ 延展

展知识衔接地图

往本科走：常微分方程、特征值与对角化（本科线代）是本章的线性化基础。

往算法走：李雅普诺夫函数 → 控制论与 RL 的稳定性证明；Hopf 分岔 → 极限环振荡器与节律模型；相图 → 非线性动力学与混沌入门。

思维陷阱

把"李雅普诺夫稳定"和"渐近稳定"混为一谈。中心（纯虚特征值）是李雅普诺夫稳定（不跑远）但不渐近稳定（不停下）。

线性化失效时硬套。f′(x₀)=0（如例3 的 −x³）时线性化全零，必须用李雅普诺夫直接法或高阶项。

以为 det>0 就稳定。det>0 只说明两特征值同号，还要看 tr A 的符号：tr>0 是不稳定结点，tr<0 才稳定。

练习

【基础】ẋ=x(1−x) 的两个平衡点是什么？哪个稳定？

查看思路与解答

平衡点 x=0, x=1。f′(0)=1>0 不稳定；f′(1)=−1<0 稳定。

【自评反馈】对得上 → 下一题；不对 → 回到 1D 判稳段。

【进阶】A=[[1,−2],[1,−1]] 的特征值是什么？原点是结点、鞍点还是焦点？

查看思路与解答

特征方程 λ²−0λ−1+2=λ²+1=0，λ=±i，实部 0 ⇒ 中心（中性旋转）。

【自评反馈】对得上 → 下一题；不对 → 回到二维分类段。

【挑战】用 V=x²+y² 判断系统 ẋ=−x+xy², ẏ=−y−x²y 的原点稳定性。

查看思路与解答

V̇=2x(−x+xy²)+2y(−y−x²y)=−2x²+2x²y²−2y²−2x²y²=−2(x²+y²)=−2V<0（除原点）⇒ 原点渐近稳定，且是指数稳定。

记

小结卡

① 平衡点 f(x₀)=0；1D 下 f′(x₀) 符号定稳定与否。

② 二维线性系统按特征值实部分类：结点/鞍点/焦点/中心；Re(λ)<0 才渐近稳定。

③ 非线性系统用李雅普诺夫函数 V>0、V̇≤0 判稳；V̇<0 渐近稳定，V̇≤−cV 指数稳定。